缉古算经

　　求逐县均给积尺受广、袤，术曰：以程功乘当县人，当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高，为法。除之，为实。又三因末广，以袤乘之，广差而一，为都廉，从。开立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以广差乘甲袤，以本袤除之，所得加末广，即甲上广。其甲上广即乙末广，其甲高即垣高。求实与都廉，如前。又并甲上下广，三之，乘甲高，又乘袤幂，以法除之，得垣方，从。开立方除之，即乙袤。余放此（此龙尾犹羡除也。其堑堵一，鳖腝一，并而相连。今以袤再乘积，广差乘高而一，所得截鳖腝袤再自乘，为立方一。又堑堵袤自乘，为幂一。又三因末广，以袤乘之，广差而一，与幂为高，故为廉法）。
　　假令穿河，袤一里二百七十六步，下广六步一尺二寸；北头深一丈八尺六寸，上广十二步二尺四寸；南头深二百四十一尺八寸；上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘，北头高二百二十三尺二寸，南头无高，下广四百六尺七寸五厘，袤与河同。甲郡二万二千三百二十人，乙郡六万八千七十六人，丙郡五万九千九百八十五人，丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑，各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北头先给甲郡，以次与乙，合均赋积尺。问：逐郡各给斜、正袤，上广及深，并漘上广各多少？
　　答曰：
　　漘上广五丈八尺二寸一分；
　　甲郡正袤一百四十四丈，
　　斜袤一百四十四丈三尺，
　　上广二十六丈四寸，
　　深一十一丈一尺六寸；
　　乙郡正袤一百一十五丈二尺，
　　斜袤一百一十五丈四尺四寸，
　　上广四十丈九尺二寸，
　　深一十八丈六尺；
　　丙郡正袤五十七丈六尺，
　　斜袤五十七丈七尺二寸，
　　上广四十八丈三尺六寸，
　　深二十二丈三尺二寸，
　　丁郡正袤二十八丈八尺，
　　斜袤二十八丈八尺六寸，
　　上广五十二丈八寸，
　　深二十四丈一尺八寸。
　　术曰：如筑堤术入之（覆堤为河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，为积。又六因，以乘袤幂。以上广差乘深差，为法。除之，为实。又并小头上、下广，以乘小头深，三之，为垣头幂。又乘袤幂，以法除之，为垣方。三因小头上广，以乘正袤，以广差除之，为都廉，从。开立方除之，即得小头袤，为甲袤。求深、广，以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤，以本袤除之，所得加小头上广，即甲上广。以小头深减南头深，余以乘甲袤，以本袤除之，所得加小头深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，并，而开方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、广为后小深、广，准甲求之，即得。
　　求漘上广，术曰：以程功乘总人，又以限日乘之，为积。六因之，为实。以正袤除之，又以高除之，所得以下广减之，余又半之，即漘上广。
　　假令四郡输粟，斛法二尺五寸，一人作功为均。自上给甲，以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗，乙郡输粟三万四千九百五石六斗，丙郡输粟，二万六千二百七十石四斗，丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多于上广一丈，少于下袤三丈，多于深六丈，少于下广一丈。各计粟多少，均出丁夫。自穿、负、筑，冬程人功常积一十二尺，一日役。问：窖上下广、袤、深，郡别出人及窖深、广各多少？
　　答曰：
　　窖上广八丈，
　　上袤九丈，
　　下广一十丈，
　　下袤一十二丈，
　　深三丈；
　　甲郡八千七十二人，
　　深一十二尺，
　　下袤一十丈二尺，
　　广八丈八尺；
　　乙郡七千二百七十二人，
　　深九尺，
　　下袤一十一丈一尺，
　　广九丈四尺；
　　丙郡五千四百七十三人，
　　深六尺，下袤一十一丈七尺，
　　广九丈八尺；
　　丁郡二千九百三十三人，
　　深三尺，
　　下袤一十二丈，
　　广一十丈。
　　求窖深、广、袤，术曰：以斛法乘总粟，为积尺。又广差乘袤差，三而一，为隅阳幂。乃置堑上广，半广差加之，以乘堑上袤，为隅头幂。又半袤差，乘堑上广，以隅阳幂及隅头幂加之，为方法。又置堑上袤及堑上广，并之，为大广。又并广差及袤差，半之，以加大广，为廉法，从。开立方除之，即深。各加差，即合所问。
　　求均给积尺受广、袤、深，术曰：如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟，为积尺。又三因，以深幂乘之，以广差乘袤差而一，为实。深乘上广，广差而一，为上广之高。深乘上袤，袤差而一，为上袤之高。上广之高乘上袤之高，三之，为方法。又并两高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以广差乘之，本深除之，所得加上广，即甲下广。若求乙、丙、丁，每以前下广、袤为后上广、袤，以次皆准此求之，即得。若求人数，各以程功约当郡积尺。
　　假令亭仓上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问：仓上下方、高及余粟深、上方各多少？
　　答曰：
　　上方三尺，
　　下方九尺，
　　高一丈二尺；
　　余粟深、上方俱六尺。
　　求仓方、高，术曰：以斛法乘容粟，为积尺。又方差自乘，三而一，为隅阳幂。以乘截高，以减积，余为实。又方差乘截高，加隅阳幂，为方法。又置方差，加截高，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问。
　　求余粟高及上方，术曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高幂，令方差幂而一，为实（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高与小高并）。高乘上方，方差而一，为小高。令自乘，三之，为方法。三因小高，为廉法，从。开立方除之，得取出高。以减本高，余即残粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即余粟上方（此本术曰：上下方相乘，又各自乘，并以高乘之，三而一。今还元，三之，又高幂乘之，差幂而一，得大小高相乘，又各自乘之数。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然则斯本下方自乘，故须高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者，即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一，隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高，为幂二。又大小高相乘，为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘，即是小方之幂又一。则小高乘大高，又各自乘三等幂，皆以乘取高为立积。故三因小幂为方，及三小高为廉也）。
　　假令刍甍上袤三丈，下袤九丈，广六丈，高一十二丈。有甲县六百三十二人，乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺，限八日役。自穿筑，二县共造。今甲县先到。问：自下给高、广、袤、各多少？
　　答曰：
　　高四丈八尺，
　　上广三丈六尺，
　　袤六丈六尺。
　　求甲县均给积尺受广、袤，术曰：以程功乘乙县人数，又以限日乘之，为积尺。以六因之，又高幂乘之，又袤差乘广而一，所得又半之，为实。高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。三因上袤之高，半之，为廉法，从。开立方除之，得乙高。以减甍高，余即甲高。求广、袤，依率求之（此乙积本倍下袤，上袤从之。以下广及高乘之，六而一，为一甍积。今还元须六因之，以高幂乘之，为实。袤差乘广而一，得取高自乘以乘三上袤之高，则三小高为廉法，各以取高为方。仍有取高为立方者二，故半之，为立方一。又须半廉法）。
　　假令圆囤上小下大，斛法二尺五寸，以率径一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问：残粟去口、上下周、高各多少？
　　答曰：
　　一周一丈八尺，
　　下周三丈，
　　高三丈六尺，
　　去口一丈八尺，
　　粟周二丈四尺。
　　求圆囤上下周及高，术曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，为方亭之积。又以周差自乘，三而一，为隅阳幂。以乘截高，以减亭积，余为实。又周差乘截高，加隅阳幂，为方法。又以周差加截高，为廉法，从。开立方除之，得上周。加差，而合所问。
　　求粟去口，术曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高幂，如周差幂而一，为实。高乘上周，周差而一，为小高。令自乘，三之，为方法。三因小高，为廉法，从。开立方除之，即去口（三十六乘讫，即是截方亭，与前方窖不别）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。
　　假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升，欲作方仓一，圆窖一，盛各满中而粟适尽。令高、深等，使方面少于圆径九寸，多于高二丈九尺八寸，率径七，周二十二。问：方、径、深多少？
　　答曰：
　　仓方四丈五尺三寸（容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合），
　　窖径四丈六尺二寸（容粟一万三百九十七石七斗七升二合），
　　高与深各一丈五尺五寸。
　　求方、径高深，术曰：十四乘斛法，以乘粟数，二十五而一，为实。又倍多加少，以乘少数，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，为方法。又倍少数，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，为廉法，从。开立方除之，即高、深。各加差，即方径（一十四乘斛法，以乘粟为积尺。前一十四馀，今还元，一十四乘。为径自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同，二径各自乘为方，大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸，堑径三丈七寸，皆成方面。此应堑方自乘，一十四乘之；堑径自乘，一十一乘之，二十五而一，为隅幂，即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省，倍小隅方，加差为矩袤，以差乘之为矩幂。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之数，即是方圆之隅同有此数，若二十五乘之，还须二十五除。直以差自乘加之，故不复乘除。又须倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，为廉法，不复二十五乘除之也）。
　　还元，术曰：仓方自乘，以高乘之，为实。圆径自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，为实。皆为斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。
　　假令有粟一万六千三百四十八石八斗，欲作方仓四、圆窖三，令高、深等，方面少于圆径一丈，多于高五尺，斛法二尺五寸，率径七，周二十二。问：方、高、径多少？
　　答曰：
　　方一丈八尺，
　　高深一丈三尺，
　　圆径二丈八尺。
　　术曰：以一十四乘斛法，以乘粟数，如八十九而一，为实。倍多加少，以乘少数，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，为方法。又倍少数，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，为廉法，从。开立方除之，即高、深。各加差，即方径（一十四乘斛法，以乘粟，为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四，即四因十四。圆窖三，即三因十一。并之，为八十九，而一。此堑径一丈五尺，堑方五尺，以高为立方。自外意同前）。
　　假令有粟三千七十二石，欲作方仓一、圆窖一，令径与方等，方于窖深二尺，少于仓高三尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、高、深各多少？
　　答曰：
　　方、径各一丈六尺，
　　高一丈九尺，
　　深一丈四尺。
　　术曰：三十五乘粟，二十五而一，为率。多自乘，以并多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以减率，余为实。并多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，为方法。又并多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，为廉法，从。开立方除之，即窖深。各加差，即方、径、高（截高五尺，堑径及方二尺，以深为立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘并多少乘之，为截高隅积，即二廉，方各二尺，长五尺。自外意旨皆与前同）。
　　假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圆窖各一，令口小底大，方面于圆径等，两深亦同，其深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、深各多少？
　　答曰：
　　上方、径各七尺，
　　下方、径各二丈八尺，
　　深各二丈一尺。
　　术曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，为方亭积。令方差自乘，三而一，为隅阳幂，以截多乘之，减积，余为实。以多乘差，加幂，为方法。多加差，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，并以乘高，为虚。命三而一，为方亭积。若圆亭上下径相乘，又各自乘，并以乘高，为虚。又十一乘之，四十二而一，为圆亭积。今方、圆二积并在一处，故以四十二复乘之，即得圆虚十一，方虚十四，凡二十五，而一，得一虚之积。又三除虚积，为方亭实。乃依方亭复问法，见上下方差及高差与积求上下方高术入之，故三乘，二十五而一）。
　　假令有粟二万六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圆窖四，令口小底大，方面与圆径等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问上下方、深数各多少？