益古演段

　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　提要
　　益古演段三卷　　　　天文算法类二【算书之属臣】等谨案益古演段三卷元李冶撰据至元壬午砚坚序称冶测圆海镜既巳刻梓其亲旧省掾李师徴复命其弟师珪请冶是编刋行是书在测圆海镜之后矣其曰益古演段者盖当时某氏算书【案冶序但称近世有某是冶已不知作者名氏】以方圆周径幂积和较相求定为诸法名益古集冶以为其蕴犹匿而未发因为之移补条目厘定图式演为六十四题以阐明奥义故踵其原名其中有草有条段有图有义草即古立天元一法条段即方田少广等法图则绘其加减开方之理义则随图解之盖测圆海镜以立天元一法为根此书即设为问答为初学明是法之意也所列诸法文皆浅显盖此法虽为诸法之根然神明变化不可端倪学者骤欲通之茫无门径之可入惟因方圆幂积以明之其理犹属易见故冶于方圆相求各题下皆以此法步之为草俾学者得以易入自序称今之为算者未必有刘李之工而褊心局见不肯晓然示人惟务隐互错糅故为溟涬黯黮惟恐学者得窥其彷佛云云可以见其著书之防矣至其条段图义触类杂陈则又以必习于诸法而后可以通此法故取以互相发也其书世无本顾应祥唐顺之等见测圆海镜而不解立天元一法遂谓秘其机以为竒则明之中叶业已散佚今检永乐大典尚载有全编特録存之俾复见于世以为筭家之圭臬永乐大典所载不分卷数砚坚序称三卷今约畧篇页仍厘为三卷其写讹谬者各以本法推之咸为校正焉乾隆四十六年七月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】　陆　费　墀

　　益古演段序
　　算数之学其来尚矣率自九章支分派委刘徽李淳风又为之注后之学者咸祖其法敬斋先生天资明敏世间书凡所经见靡不洞究至于薄物细故亦不遗焉近代有移补方圆自成一家号益古集者大小七十问【按书中六十四问】先生一寓目见其用心之勤惜其秘而未尽剖露繙图式绎条段可移则移之可补则补之祥【按祥字有脱误应作説之详】非若溟涬黯黮之不可晓析之明非若浅近觕俗之无足观厘为三卷目曰益古演段颇晓十百披而览之辟如登坦途前无滞碍旁蹊曲径自可纵横而通嘉恵后来为视隠互杂糅惟恐人窥其彷佛者相去大有迳庭矣先生又尽摅已见辑为测圆海镜一编二百问【按今本一百七十问】同出一原致宻纎悉备而不防叅考互见真学者之指南也海镜既命工刻梓省掾李师征其亲旧也嘱弟师珪请是编刋而行之将与众共推善及人良可尚也已数学在六艺为未求之人最为切要迩来精其能者殊鲜自非先生学有余力诚能搜剔轩辕隶首之奥有不暇矣虽然是特大烹之一脔耳若夫先生胷中浑涵停蓄测之愈深挹之不穷时发于翰墨昭不可揜者则大全集在当嗣此出愿肃袵以观至元壬午仲秋二十六日郧城砚坚序

　　自序
　　术数虽居六艺之末而施之人事则最为切务故古之博雅君子马郑之流未有不研精于此者也其撰著成书者无虑百家然皆以九章为祖而刘徽李淳风又加注释而此道益明今之为算者未必有刘李之工而褊心局见不肯晓然示人惟务隠互错糅故为溟涬黯黮惟恐学者得闚其彷佛也不然则又以浅近觕俗无足观者致使轩辕隶首之术三五错综之妙尽堕于市井沾沾之儿及夫荒村下里蚩蚩之民殊可悯悼近世有某者以方圆移补成编号益古集真可与刘李相颉颃予犹恨其闭匿而不尽发遂再为移补条段细繙图式使粗知十百者便得入室啗其文顾不快哉客有订愚曰子所述果能尽轩隶之秘乎愚应之曰吾所述虽不敢追配作者诚令后生軰优而柔之则安知轩隶之秘不于是乎始客退因书以为自序时大元己未夏六月二十有四日栾城李冶序
　　钦定四库全书
　　益古演段卷上　　　　　　元　李冶　撰第一问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七分半并不记内圆外方只云从外田楞至内池楞四边各二十步问内圆外方各多少
　　答曰外田方六十步　内池径二十步
　　法曰立天元一为内池径加倍至步得□丨【按太即真数此
　　即四十步并一池径】为田方靣【按方靣即每边】以
　　自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十
　　池径一平方并】为方积于头再立天元
　　一为内池径以自之又三因四
　　而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步与池之位】为池积以减头位得□□□【按此即一千六百步八十池径二分半平方】为一段虚积寄左然后列直积以亩法【按亩法二百四十步】通之得三千三百步与左相消【按相消者两边同减一千六百歩后凡言相消者皆两邉加减一数也】得□□□【按此即一千七百歩与八十池径二分半平方等】开平方得二十步为圆池径也倍至步加池径即外方靣也按今借根方法即立天元一法详见
　　御制数理精蕴兹不尽释
　　以条段求之真积内减四段至步幂为实四之至步为从二分半常法
　　义曰真积内减四段至步幂者是减去四隅也以二分半为常法者是于一步之内占却七分半外有二
　　分半也

　　第二问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七分半并不记径面只云从外田南楞通内池北楞四十步问内圆外方各多少
　　答曰同前
　　法曰立天元为池径减倍通步
　　得□丨【按此即八十步少一圆径】为田方靣
　　以自増乗得□□丨【按此即六千四百步
　　少一百六十径多一平方】为方田积于头又
　　以天元池径自之三因四而一得【太　○○】□【按此即百分平方之七十五】为池积以减头位得□□□【按此即六千四百步少一百六十径多二分半平方】为一段虚积寄左然后列真积三千三百步与左相消得□□□【按此即三千一百步与一百六十径少二分半平方等】开平方得二十歩即内池径也倍通步内减池径为方靣也
　　依条段求之倍通步自乗于头位以田积减头位余为实四之通步为从二分半虚常法
　　义曰倍通步者是于方靣之外引出一圆也用二分半虚常法者是一个虚方内却有减余圆池补了七分半外欠二分半故以之为虚隅也

　　第三问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三百二十八歩只云从外田角斜至内池楞各五十二步问靣径外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池径六十四步
　　法曰立天元一为内池径加倍
　　至步得□丨为方斜以自増乗
　　得□□丨为方斜幂于头【其方斜上
　　本合身外减四今不及减便是寄一步四分为分母也今此方斜幂乃】
　　【是变斜为方靣以自乘之数又别得是展起之数也】又立天元为池径自之又三因四而一为池积今为方田积既以展起则此池积亦须展起故又用一步九分六厘乗之得一步四分七厘亦为一个展起底圆池积也【以一步九分六厘乘之者葢为分母十四以自之得一步九分六厘也】以池积减田积余□□□为一段虚积寄左然后列真积一万一千三百二十八步亦用分母幂一步九分六厘乗之【或两度不加四亦同】得二万二千二百○二步八分八厘与左相消得□□□平方开之得六十四步为内池径也倍至步加池径身外除四见方靣也　一法求所展池积以径自之了更不湏三因四除及以一步九分六厘乗之只于径幂上以一步四分七厘【按此即三因四除一步九分六厘之数】乗之便为所展之池积也
　　依条段求之展积内减四段至步幂余为实四之至步为从四分七厘益隅
　　义曰凡言展积者是于正积上以一步九分六厘乗起之数元法本是方靣上寄一步四分分母自乗过于每步上得一步九分六厘故今命之为展起之数
　　也诸变斜为方者皆凖此所展
　　之池积是于一步圆积上展出
　　九分六厘若以池径上取斜为
　　外圆径则一步上止生得四分
　　七厘也故以四分七厘为虚常法又取方幂一步九分六厘四分之三亦得圆积一步四分七厘也按法内皆以径一周三方五斜七为率故各靣积分数与宻率不合葢此书専为明理而作宻率数繁碍于讲解故用古率以从简且其法既明即用宻率亦无不可
　　第四问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三百二十八步只云从外田角斜通池径得一百一十六步问靣径外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池径六十四步
　　法曰立天元一为圆径减倍通步得下□丨为方斜
　　以自之得□□丨便为所展方
　　田积于上再立天元一为池径
　　以自之又以一步四分七厘乗
　　之得【太　○○】□　　　　　　　　　　　　　　　　　　【步】便为所展圆池
　　积也以池积减上田积余得□□□为一段如积寄左然后列真积如法展之得二万二千二百○二步八分八厘与左相消得□□□平方开之得六十四步为内池径也以池径减倍通步即是方田斜身外除四为方靣也
　　以条段求之四段通步幂内减展积为实四之通步为从四分七厘常法
　　义曰四之通步为从其减
　　积外实欠一个方今即有展
　　池减时所剰之积补却一
　　个虚方外犹剰一个四分
　　七厘为常法也
　　第五问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩二分只云内圆周不及外方周一百六十八步问方圆各多少
　　答曰外方周二百四十步　内圆周七十二步
　　法曰立天元一为内圆周加一百六十八步得□丨为外方周以自増乗得□□丨为一十六个方田积又三因之得□□□为四十八段方田积于头【所以三因
　　为四十八者就为四十八分母也】再立天元圆
　　周以自之【元○】丨为十二段圆池
　　积【圆周幂为九个圆径幂每三个圆径幂为四个圆池积今九
　　个圆径幂共为十二个圆池积也】又就分四之
　　得【元○】□为四十八个圆池积以减头位得□□丨为四十八段如积寄左然后列真积一十三亩二分以亩法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五万二千○六十四步与寄左相消得□□丨平方开之得七十二步为内圆周也三而一为池径
　　依条段求之四十八段田积内减三段不及步幂为实六之不及为从一虚隅

　　义曰每一个方周方为十六段方田积今三之为四十八段方田积也内除了三个圆周幂外于见积上虚了一个圆周幂也今求圆周故以一步为虚隅法旧术曰以十六乗田积为头位【以合方周之积】以不及步自乗减头位余三之为实六之不及步为从法防常以一步为减从法
　　第六问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地二千六百七十三步只云内圆周与外方靣数等问各多少答曰外方靣内圆周各五十四步
　　法曰立天元一为方靣【便是圆周】以
　　自之得元丨便为十二段池积
　　也再立天元方靣以自之又十
　　二之得【元○】□为十二段方田积
　　也二数相减余【元○】□为十二段如积寄左然后列真积就分母十二之得□与左相消得□□平方开之得五十四步为方靣亦为圆周径也
　　依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法
　　义曰一个方田积便是一
　　个圆周积也一个圆周积
　　便是十二个圆池积今将
　　一十二个圆池积减于十
　　二个方田积通有十一段方田积也
　　旧术曰以十二乗田如十一而一所得开方除之合前问也
　　又法立天元一为等数以自之为外田积又就分母九之得【元○】□为九个方田积于头又立天元等数以自之为十二个圆池积也三之四而一得【元○】□为九个圆池以减头位得【元○】□为九段如积寄左然后列真积就分九之得二万四千○五十七步与左相消得□○□平方开得五十四步为等数也
　　依条段求之九之积为实无从八步二分半为常法义曰每一个方幂为十二个圆池今将见有底九个
　　圆池去了七分半余二分半并
　　实有八个方恰是八个二分半
　　也
　　又法立天元一为径以三之为
　　外方靣以自之得【元○】□为外方积于上再立天元圆径以自之三之四而一得【元○】□为圆池积也以此圆积减方积得【元○】□为一段如积寄左然后列真积与左相消得下式□○□平方开得一十八步为圆径也
　　以条段求之积为实八步二分半为常法
　　义曰中间一方除圆池四分之
　　三外有四分之一即是一步内
　　得二分半也
　　旧术曰列积步以八步二分半
　　为法除之所得再开方见内圆径
　　第七问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一千三百五十七步只云外方靣不及内池周一十四步问方圆各多少
　　答曰方靣四十步　圆周五十四步
　　法曰立天元一为外方加不及
　　一十四步得□丨为内周以自
　　増乗得□□丨为十二个圆池
　　积于头再立天元方靣以自之
　　又十二之为十二个方田积内减头位得□□□为十二段如积寄左然后列见积一千三百五十七步就分母十二通之得一万六千二百八十四步与左相消得□□□开平方得四十步为外方靣也依条段求之十二之积内加入不及步幂为实二之不及步为虚从十一步常法
　　义曰其十二段积内起十二个圆池其十二个圆池补成一个圆周方其圆周多于方靣十四步故
　　自之为幂加入所
　　欠之一角又二之
　　为虚从恰得十一
　　个方也
　　第八问
　　今有方田一段内有圆池水占之外有地一十三亩七分半只云内外方圆周共相和得三百步问方圆周各多少
　　答曰外方周二百四十步　内圆周六十步
　　法曰立天元一为圆径以三之
　　为圆周以减共步得□□为方
　　周以自増乗得□□□为十六
　　段方田积于头再立天元圆径
　　以自之又十二之得【太○】○□为十六个圆池积以减头位得□□□为十六段如积寄左然后列真积一十三亩七分半以亩法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五万二千八百步与左相消得□□□开平方得二十步为圆池径又三之为圆周也依条段求之和步幂内减十六之见积为实六之和步为从三步常法