测圆海镜

　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　测圆海镜　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要
　　【臣】等谨案测圆海镜十二卷元李冶撰冶字镜斋栾城人金末登进士入元官翰林学士事迹具元史本传其书以勾股容圆为题自圆心圆外纵横取之得大小十五形皆无竒零次列识别杂记数百条以穷其理次设问一百七十则以尽其用探赜索隐参伍错综虽习其法者不能骤解而其草多言立天元一按立天元一法见扵宋秦九韶九章大衍术中厥后授时草及四元玉鉴等书皆屡见之而此书言之独详其法关乎数学者甚大然自元以来畴人皆株守立成习而不察至遂无知其法者故唐顺之与頋应祥书称立天元一漫不省为何语頋应祥演是书为分类释术其自序亦云立天元一无下手之术则是书虽存而其传已泯矣明万厯中利玛窦与徐光启李之等译为同文算指诸书扵古九章皆有辨订独于立天元一法阙而不言徐光启扵勾股义序中引此书又谓欲説其义而未遑是此书已为利玛窦所见而犹未得其解也迨我
　　国朝醲化翔洽梯航鳞萃欧逻巴人始以借根方法进
　　呈
　　圣祖仁皇帝授
　　蒙养斋诸臣习之梅防成乃悟即古立天元一法扵赤水遗珍中详解之且载西名阿尔热巴拉【案原本作阿尔热巴逹谨据西洋借根法改正】即华言东来法知即冶之遗书流入西域又转而还入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所説信而有徴特录存之以为算法之秘钥且以见中法西法互发益明无容设畛域之见焉乾隆四十六年二月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】　陆　费　墀

　　原序
　　数本难穷吾欲以力强穷之彼其数不惟不能得其凡而吾之力且惫矣然则数果不可以穷耶既已名之数矣则又何为而不可穷也故谓数为难穷斯可谓数为不可穷斯不可何则彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之数也非自然之数其自然之理也数一出于自然吾欲以力强穷之使隶首复生亦末如之何也已苟能推自然之理以明自然之数则虽逺而干端坤倪幽而神情鬼状未有不合者矣予自幼喜算数恒病夫考圆之术例出于牵强殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互见内外诸角析剖支条莫不各自名家与世作法及反覆研究卒无以当吾心焉老大以来得洞渊九容之说日夕玩绎而向之病我者使爆然落去而无遗余山中多暇客有从余求其说者于是乎又为衍之遂累一百七十问既成编客复目之测圆海镜盖取夫天临海镜之义也昔半山老人集唐百家诗选自谓废日力于此良可惜明道先生以上蔡谢君记诵为玩物丧志夫文史尚矣犹之为不足贵况九九贱技能乎嗜好酸咸平生每痛自戒勅竟莫能已类有物慿之者吾亦不知其然而然也故尝私为之解曰由技兼于事者言之夷之礼夔之乐亦不免为一技由技进乎道者言之石之斤扁之轮非圣人之所与乎览吾之编察吾苦心其悯我者当百数其笑我者当千数乃若吾之所自得则自得焉耳宁复为人悯笑计哉李冶序

　　总率名号
　　天之地为通　　天之干为通股
　　干之地为通勾
　　天之川为边　　天之西为边股
　　西之川为边勾
　　日之地为底　　日之北为底股
　　北之地为底勾
　　天之山为黄广　天之金为股
　　金之山为勾
　　月之地为黄长　月之泉为股
　　泉之地为勾
　　天之日为上髙　天之旦为股
　　旦之日为勾
　　日之山为下髙　日之朱为股
　　朱之山为勾
　　月之川为上平　月之青为股
　　青之川为勾
　　川之地为下平　川之夕为股
　　夕之地为勾
　　天之月为大差　天之坤为股
　　坤之月为勾
　　山之地为小差　山之艮为股
　　艮之地为勾
　　日之川为皇极　日之心为股
　　心之川为勾
　　月之山为太虚　月之水为股
　　水之山为勾
　　日之月为明　　日之南为股
　　南之月为勾
　　山之川为□　　山之东为股
　　东之川为勾
　　今问正数
　　通六百八十　勾三百二十　股六百
　　勾股和九百二十较二百八十
　　勾和一千较三百六十
　　股和一千二百八十较八十
　　较和九百六十较四百
　　和和一千六百较二百四十
　　边五百四十四　勾二百五十六　股四百八十勾股和七百三十六较二百二十四
　　勾和八百较二百八十八
　　股和一千零二十四较六十四
　　较和七百六十八较三百二十
　　和和一千二百八十较一百九十二
　　底四百二十五　勾二百　股三百七十五勾股和五百七十五较一百七十五
　　勾和六百二十五较二百二十五
　　股和八百较五十
　　较和六百较二百五十
　　和和一千较一百五十
　　黄广五百一十　勾二百四十【即城径也】　股四百五十
　　勾股和六百九十较二百一十
　　勾和七百五十较二百七十
　　股和九百六十较六十
　　较和七百二十较三百
　　和和一千二百较一百八十
　　黄长二百七十二　勾一百二十八　股二百四十【即城径也】
　　勾股和三百六十八较一百一十二
　　勾和四百较一百四十四
　　股和五百一十二较三十二
　　较和三百八十四较一百六十
　　和和六百四十较九十六
　　髙二百五十五【上下同】　勾一百二十【即半径】　股二百二十五
　　勾股和三百四十五较一百零五
　　勾和三百七十五较一百三十五
　　股和四百八十较三十
　　较和三百六十较一百五十
　　和和六百较九十
　　平一百三十六【上下同】　勾六十四　股一百二十【即半径也】
　　勾股和一百八十四较五十六
　　勾和二百较七十二
　　股和二百五十六较十六
　　较和一百九十二较八十
　　和和三百二十较四十八
　　大差四百零八　勾一百九十二　股三百六十勾股和五百五十二较一百六十八
　　勾和六百较二百一十六
　　股和七百六十八较四十八
　　较和五百七十六较二百四十
　　和和九百六十较一百四十四
　　小差一百七十　勾八十　股一百五十
　　勾股和二百三十较七十
　　勾和二百五十较九十
　　股和三百二十较二十
　　较和二百四十较一百
　　和和四百较六十
　　皇极二百八十九　勾一百三十六　股二百五十五
　　勾股和三百九十一较一百一十九
　　勾和四百二十五较一百五十三
　　股和五百四十四较三十四
　　较和四百零八较一百七十
　　和和六百八十较一百零二
　　太虚一百零二　勾四十八　股九十
　　勾股和一百三十八较四十二
　　勾和一百五十较五十四
　　股和一百九十二较一十二
　　较和一百四十四较六十
　　和和二百四十较三十六
　　明一百五十三　勾七十二　股一百三十五勾股和二百零七较六十三
　　勾和二百二十五较八十一
　　股和二百八十八较一十八
　　较和二百一十六较九十
　　和和三百六十较五十四
　　□三十四　勾十六　股三十
　　勾股和四十六较一十四
　　勾和五十较一十八
　　股和六十四较四
　　较和四十八较二十
　　和和八十较十二
　　识别杂记
　　天之于日与日之于心同心之于川与川之于地同日之于心与日之于山同故以山之川为小差　川之于心与川之于月同故以月之日为大差
　　明勾□股相得名为内率求虚积　明股□勾相得名为外率求虚积　虚勾虚股相得名为虚率求虚积
　　凡勾股和即黄和　凡大差即股黄较　凡小差即勾黄较
　　髙股平勾差名角差【又】名逺差此数即髙平二差共也又为明和□和较也【又】为通差内去极差【又】为极差虚差共　明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和此数【又】为明大差□小差较也　勾圆差之股股圆差之勾相并名混同和此数【又】为一径一虚共也　明□二差较名傍差此数又为髙平二差较【又】为极双差内减虚和【又】为极和内减城径也　虚差不及傍差名蓌差此数又为大差差内去角差【又】为极差内去二之平差【又】为次差内去小差差【又】为明股□勾共内去二之明勾也　虚差傍差共为蓌和【蓌音剉】
　　凡大差股小差勾相乘为半段径幂　大差勾小差股相乘亦同上　虚勾乗大股得半段径幂　虚股乘大勾亦同上　边股□股相乘得半径幂明勾底勾相乘亦同上　黄广股黄长勾相乗得径幂　髙股平勾相乗得半径幂　明明股并与□□勾并相乘得半径幂　明明勾并与□□股并相乘亦同上　髙平相乘为一段皇极积　明勾□股相乘倍之为一段太虚积明股□勾相乘亦同
　　右诸杂名目
　　通上勾股和即一城径一通也其较即勾圆差之勾股圆差之股相较也　勾和即二勾一大差其较则大差也　股和即二股一小差其较则小差也　较和为一径三差共其较则大勾小差共也　三事和即边三事和上带大勾也【又】为底三事和上带大股也其较则城径也
　　边上勾股和为通股平共其较则大差股内去平也　勾和即通股底勾共其较则明股明共也　股和即通股通和内少个边勾也其较则平勾也　较和为大差上股和其较则大勾也　三事和即通上股和【又】为黄广三事和上带勾圆差也其较则大差勾也【又】为平上较和【又】为太虚上股和也
　　底上勾股和为通勾髙共其较则髙内去小差勾也　勾和为通上较较与髙股共其较则髙股也　股和为半个通上三事和其较则□上勾和也　较和为大差上勾和也其较则小差上勾和也　三事和即通上勾和【又】为黄长三事和上带股圆差其较则小差股也【又】为髙上较较【又】为太虚上勾和
　　黄广上勾股和为大股虚股共【又】为通勾通股共内少个小差上勾股和其较则两个髙差也　勾和为二髙一圆径共其较则二明股也　股和为通上较和其较则二□股也　较和即两个大差股也其较即两个小差股也　三事和两大股也其较则两虚股也
　　黄长上勾股和为大勾虚勾共【又】为通和内少个大差上勾股和也其较则两个平差也　勾和为通上较较其较则两个明勾也　股和为二圆径二□勾其较则二□勾也　较和为两个大差勾也其较则两个小差勾也　三事和为两大勾其较则两虚勾也
　　髙上勾股和为髙虚股共【又】为一径及髙勾髙股差也其较则底内减大勾也【又】为边股内减底股也　勾共则底股其较则明股也　股共即边股其差则□股也　较共则大差股其较则小差股也　三事和即大股其较则虚股也【又】为小差上勾较【又】为明上较较
　　平上勾股共即平虚勾共也其较则大股内减边也　勾共即底勾其差则明勾也　股共即边勾其较则□勾也　较共即大差勾其较则小差勾也　三事和即大勾其较则虚勾也【又】为大差上股较【又】为□上较和
　　大差上勾股和即大股内去虚勾其差则大差内去圆径也　勾共即大股其差则大差股内去二之明勾也　股和为大股上加个大中差也【按大中差乃明股和与半径之较】其较则虚勾也　较和为两个边上勾较其较即城径也　三事和即大股与股圆差共【又】为大大较共【又】为二边股其较则太虚上较和也
　　小差上勾股和即大勾内去虚股也其较则圆径内去小差也　勾和为大勾上减个小中差也【按小中差乃□勾和与半径之较】其较则虚股也　股共即大勾其较则小差勾内去两个□股也　较和为圆径其较则为两个底上股较【又】为两个□上勾和也　三事和即大勾与勾圆差共也又为大大较较【按即通又上较较】为二底勾其较则太虚上较较也
　　皇极勾股和即髙平共其较则明股内去□勾也　勾共即底其较则明也　股共则边其较则□也　较和为髙明共【又】为大股内减大差勾【又】为大差其较则小差也　三事和即通其较则太虚也【又】为明勾□股共【又】为髙内减明【又】为平内减□【又】为大差勾上减虚股【又】为小差股上减虚勾也
　　太虚勾股和即圆径内减虚【又】为虚虚黄方共【又】为皇极内去明股□勾共其差则大差勾内减个小差股也　勾共即小差股也其较则虚股内减个小黄方也　股共即大差勾其较则虚勾内减个小黄方也　较和为大差上和较【又】黄长上勾较【又】为两个明勾其较小差上黄方面也　三事和即大黄方其较则为两个明上股较【又】为□上两个勾较【又】为明上小差与□上大差共也
　　明勾股和即大差股内减明其较则明内减虚股也　勾并即髙股其较则髙股内少二之明勾也　股和即边股内减大差勾【又】为边勾边差其较则半个虚黄方也　较和即大差上勾较其较则虚股也　三事和即股圆差其较则太虚上勾较【又】为虚股内减虚黄方也
　　□上勾股和即小差内减□其较则虚勾内减□也　勾和即底勾内减小差股【又】为底股底差其较则半个虚黄方也　股和即平勾其较则平勾内少二个□股也　较和即虚勾其较则小差上股较也　三事和即勾圆差其较则太虚上股较【又】为虚勾内减虚黄方也
　　前黄广勾股下　其勾股较【又】为大差股上少个小差股【又】为中差【按中差系通勾股较】内少个小差较【又】为黄广股内少一径　勾共【又】为两个底股【又】为大股与小差股共　股和【又】为大中差共【又】为两个边股　股差【又】为小差上黄方面