数学九章

　　按此条与数无取义可删
　　本题术曰置诸元数两两连环求等约竒弗约偶徧约毕乃变元数皆曰定母列右行各立天元一为子列左行以诸定母互乘左行之子各得名曰衍数次以各定母满去衍数各余名曰竒数以竒数与定母用大衍术求一【大衍求一术云以竒于右上定母于右下立天元一于左上先以右行上下两位以少除多所得商数乃递互乘归左行使右上得一而止左上为乘率】得各乘率以乘衍数各得用数验次所揲余几何以其余数乘诸用数并之名曰总数满衍母去之不满为所求数以为实易以三才为衍法以法除实所得为象数如实有余或一或二皆命作一同为象数其象数得一为老阳得二为少隂得三为少阳得四为老隂得老阳画重爻得少隂画拆爻得少阳画单爻得老隂画交爻凡六画乃成卦
　　按此即前大衍法末以三归取爻象亦属附会
　　草曰一二三四列右行立天元一列左行
　　元数右行
　　天元左行
　　以右行一二三四互乘左行异子一弗乘对位本子各得衍数
　　元数右行
　　上　副　次　　下
　　衍数左行　并之得五十
　　乃并左行衍数四位共计五十故易曰大衍之数五十算理不可以此五十为用葢分之为二则左右手之数竒偶不同见隂阳之伏数必须复求用数先名此曰衍数以为限率遂乃复以一二三四之元数求等数约定按前术以两两相连环求等约之先以一与二求等一与三求等一与四求等皆得一各约竒弗约偶数不变次以二与三求等亦得一约竒弗约偶数亦不变及以二与四求等乃得二此二只约副数二变为一而弗约四次以三与四求等亦得一约竒亦不变所得一一三四各为定数母列右行仍各立天元一为子列左行
　　定母右行
　　天行左行
　　以右行定母一一三四互乘左行各子一惟不对乘本子毕左上得一十二左副得一十二左次得四次下得三皆曰衍数
　　定母右行　以右定母满去左
　　衍数左行　衍衍余各为竒数
　　次以各母去衍数其一母去衍一十二竒一其副母一亦去副子一十二亦各竒一其次母三去次衍四亦竒一其下母四欲去下子三则不满便以三为左下竒数
　　定母右行
　　竒数左行
　　凡竒数得一者便为乘率今左下衍是三乃与本母四用大衍求一术入之列衍竒三于右上定母于右下立天元一于左上空其左下
　　【衍　定　商竒　母】
　　【天元】
　　先以右上少数三除右下多数四得一为商以商一乘左上天元一只得一归左下其右下余一
　　【商　衍　定母竒　余】○
　　【天　归元　数】
　　次以右下少数一除右上多数三须使右上必竒一算乃止遂于右行最上商二以除右衍必竒一乃以上商命右下定余一除之右衍余一
　　【商　衍竒　定母余　　余】
　　【天　　归元　　数】
　　次以商二与左下归数相乘得二加入左上天元一内共得三

　　今验右上衍余得一当止乃以左上三为乘率与前三者乘率各一与衍定图衍数对列之通计三行
　　定母
　　衍数
　　乘率
　　以乘率对乘左行毕左上得一十二左副得一十二左次得四左下得九皆曰泛用数
　　定母　　衍母
　　泛用
　　次以右行一二三四相乘得一十二名曰衍母复推元用等数二约副母二为一今乃复归之为二遂用衍母一十二益于左副一十二内共为二十四
　　元数
　　定用
　　今验用数图右行之一二三四即是所揲之数左行一十二并二十四及四与九并之得四十九名曰用数用为蓍草数故易曰其用四十有九是也
　　假今用蓍四十九信手分之为二则左手竒右手必偶左手偶右手必竒欲使蓍数近大衍五十非四十九或五十一不可二数信手分之必有一竒一偶故所以用四十九取七七之数始有左副二十四内益十二就其三十七泛为用数但三十七无意义兼蓍少太露是以用四十有九凡揲蓍求一爻之数欲得一二三四岀于无余必令揲者不得知故以四十九蓍分之为二只用左手之数假令左手分得三十三自一一楪之必竒一故不繁楪乃径挂一故易曰分而为二以象两挂一以象三次后又令筮人以二二揲之其三十三亦竒一故归奇于防又令之以三三揲之其三十三必奇三故归奇于防又令之以四四揲之又奇一亦归奇于防与前挂一并三度揲通有四防乃得一一三一其挂一者乘用数图左上用数一十二其二揲防一者乘左副用数二十四其三揲防三者乘左次用数四得一十二其四揲一者乘左下用数九
　　用数
　　左行三防谓之三变
　　挂一得一十二防一得二十四防三得一十二又防一得九并为总数

　　并此四总得五十七不问所握几何乃满衍母一十二去之得不满者九【或使知其所握五十七亦满衍母去之亦只得九数】以为实用三才衍法约之得三乃画少阳单爻【或不满得八得七为实皆命为三】他皆仿此　术意谓揲二楪三楪四者凡三度复以三十三从头数揲之故曰三变而成爻既卦有六爻必有十八变故曰十有八变而成卦
　　按此条强援蓍卦牵附衍数致本法反晦今以本法列于前则其弊自见矣
　　古厯会积
　　问古厯冬至以三百六十五日四分日之一朔防以二十九日九百四十分日之四百九十九甲子以六十日各为一周假令至淳祐丙午十一月丙辰朔初五日庚申冬至初九日甲子欲求古厯气朔甲子一会积年积月积日及厯过未至年数各几何
　　按此题嵗实朔防皆古法用数淳祐丙午嵗合朔冬至干支乃宋开禧法所步题数已不相即推算无误亦未合况不能无误耶
　　荅曰一会积一万八千二百四十年二十二万五千六百月六百六十六万二千一百六十日　厯过九千一百六十三年未至九千七十七年按荅数皆不合
　　术曰同前置问数【有分者通之互乘之得通数】求总等不约一位约众位各得元法连环求等约竒弗约偶各得定母【本题欲求一会不复乘偶】以定相乘为衍母定除母得衍数满定去衍得竒以大衍入之得乘率以乘衍数得泛用数并诸泛以课衍母如泛内多倍数者损之乃验元数竒偶同类处各损半倍【或三位同类者三约衍母损泛】各得正用然后推气朔不及或所遇甲子日数乘正用加减之为总满衍去之余为所求厯过率实如纪元法而一为厯过以气元法除衍母得一会积年以气周日刻乘一会年得一会积日以朔元法除衍母得一会积月数
　　按如纪元法而一以气元法除衍母二语皆误故得数不合皆当以气分为法葢气分即嵗实分也
　　右本题问气朔甲子相距日数系开禧厯推倒或甲子日在气朔之间及非十一月前后者其总数必满母赘去之所得厯过年数尾位虽伦首位必异今设问以明大衍之理初不计其前多后少之厯过
　　按此数语葢因得数不合而自解之然算家终以得数为凖得数不合则无以取信于人矣
　　草曰置问数冬至三百六十五日四分日之一朔
　　防二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日各通分内子互乘之列三等位具图如后

　　冬至得一千四百六十一朔实得二万七千七百五十九甲子无母只是六十列三行互乘之具图如后
　　【气通　母　　　　　　　　总等不约纪分】

　　以三行互乘右得一百三十七万三千三百四十为气分中得一十一万一千三十六为朔分左得二十二万五千六百为纪分先求总等得一十二【按十二乃朔分纪分所求等数亦可为气分等数故为总等】乃存纪分一位不约只以等一十二约气分得一十一万四千四百四十五又约朔分得九千二百五十三皆为元法乃以连环求等次以纪元二十二万五千六百与朔元九千二百五十三求等得一不约又以纪元与气元一十一万四千四百四十五求等得二百三十五只约气元得四百八十七次以气元四百八十七与朔元九千二百五十三求等得四百八十七只约朔元九千二百五十三得一十九约偏毕得四百八十七为气定得一十九为气定得二十二万五千六百为纪定以三定相乘得二十亿八千七百四十七万六千八百为衍母具图如后

　　各以定数约衍母各得衍数气得四百二十八万六千四百朔得一亿九百八十六万七千二百纪得九千二百五十三寄左行各满定数去之各得竒数

　　气竒得三百一十三朔竒得四纪竒得九千二百五十三各与定数用大衍求一各得乘数列右行对寄左行衍数具图如后

　　各以大数入之气乘率得四百七十三朔乘率得五纪乘率得一十七万二千七百一十七对左行衍数以右行乘率对乘左行衍数气泛得二十亿二千七百四十六万七千二百朔泛得五亿四千九百三十三万六千纪泛得一十五亿九千八百一十五万四百一十具图如后

　　右列用数并之共得四十一亿七千四百九十五万三千六百一为泛用数与衍母二十亿八千七百四十七万六千八百验之在衍母以上就以衍母除泛得二乃知泛内多一倍母数当于各用内损去所多一倍按术验法元图内诸元数奇偶同类者各损其半今验法元图气元尾数是五纪元尾数是六百为俱五同类乃以术母二十亿八千七百四十七万六千八百折半得一十亿四千三百七十三万八千四百以损泛用图内气泛纪泛毕其朔泛不损各得气朔纪正用数其气正用得九亿八千三百七十二万八千八百朔正用五亿四千九百三十三万六千纪正用五亿五千四百四十一万二千一列为正用图在前
　　既得正用数次验问题十一月朔日丙辰冬至初五日庚申初九日甲子乃以初一减初九甲子余八日为朔不及次以初五亦减初九甲子余四日为气不及以二不及各乘正用得数具图如后

　　先以气不及甲子四日以乘气正用数九亿八千三百七十二万八千八百得三十九亿三千四百九十一万五千二百为气总次以朔不及甲子八日数以乘其朔正用数五亿五千九百三十三万六千得四十三亿九千四百六十八万八千为朔总并之得八十三亿二千九百六十万三千二百为总数满母二十亿八千七百四十七万六千八百去之不满二十亿六千七百一十七万二千八百为所求率实具图如后

　　按求积嵗应以甲子距冬至前之日分乘纪用数为纪总以合朔距冬至前之日分乘朔用数为朔总并纪总朔总满衍母去之以嵗实分除之即已过积年草内以冬至距甲子前之日分乘气用数合朔距甲子前之日分乘朔用数并之乃求纪周法非求嵗周法也故不合
　　置所得率实二十亿六千七百一十七万二千八百如法元图纪元法二十二万五千六百而一得九千一百六十三年为厯过年数次置衍母二十亿八千七百四十七万六千八百为实如法元图气元一十一万四千四百四十五为法而一得一万八千二百四十年为气朔甲子一会积年内减厯过九千一百六十三年余九千七十七年为未至年数次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘积一会年一万八千二百四十得六百六十六万二千一百六十日为一会积日又以术母为实如法元图朔元法九千二百五十二而一得二十二万五千六百月为一会积月合问
　　按此纪元即纪分以纪分除率实乃纪周数非已过年数也求一会积年当以气分为法以气元为法亦误此二数既误余数无是者矣然题已不合既法合数亦不能合也今改设一题于后以明其法焉
　　设古法嵗实三百六十五日四分日之一朔防二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三冬至癸夘日子正初刻问距前后甲子日子正初刻合朔冬至之年数各几何
　　荅曰距前八百七十六年距后六百四十四年
　　法按前法求至正用乃以冬至癸夘距甲子后三十九日为纪余以日法【即气分母朔分母相乘之数】三千七百六十分通之得十四万六千六百四十为纪余分以乘纪正用得纪总八十一兆二千九百八十九亿七千五百八十二万六千六百四十次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三与冬至距甲子三十九日相减得二十一日又四百七十分日之三百五十七以日法三千七百六十通之得八万一千八百一十六为朔余分以乘朔正用得朔总四十四兆九千四百四十四亿七千四百一十七万六千并二总数满衍母去之得率实十二亿零三百零四万五千八百四十为实以嵗实一百三十七万三千三百四十为法除之得八百七十六年为距前气朔甲子会积之年数又以衍母为实以嵗实分为法除之得一千五百二十年为前会积距后会积之年数减去距前会积之年数余六百四十四年为距后会积之年数既得积年若欲还原求题中干支时刻则以前会之积年与嵗实相乘得三十一万九千九百五十九为积日满纪法六十去之余三十九日自初日起甲子得冬至为癸夘日子正初刻又置积日以朔防日分九百四十通之为实以朔防通分纳子为法除之得一万零八百三十四为积朔余二万零四百五十四又为实以朔防日分九百四十为法除之得二十一日又九百四十分之七百一十四约之为四百七十分日之三百五十七为距冬至前日数与甲子距冬至前三十九日相减得一十七日又四百七十分日之一百一十三为距甲子后日数自初日起甲子得辛巳为平朔干支悉与题合
　　推库额钱
　　问有外邑七库日纳息足钱适等递年成贯整纳近縁见钱稀少听各库照当处市陌凖解旧会其甲库有零钱一十文丁庚二库各零四文戊库零六文余库无零钱甲库所在市陌一十二文递减一文至庚库而止欲求诸库日息原纳足钱展省及今纳旧会并大小月分各几何
　　按题意系七邑日纳共钱同数以各邑市陌数计之或适足或有余多寡不同甲陌十二则余十乙陌十一丙陌十则无余丁陌九则余四戊陌八则余六己陌七则无余庚陌六则余四以求共钱同数此本术也又问展省旧会按草中展省乃官省陌以七十七为一百所展日息共钱之数旧会乃以各陌数为一百所升日息共钱之数二者在本术中已赘且不明言展省旧会用数求法皆故为溟涬也
　　荅曰诸库纳日息足钱二十贯九百五十文
　　展省三十五贯文
　　甲库日息旧会二百二十四贯五百一十文【按应作五百文又六分文之五】大月旧会六千七百三十七贯五百文【按少二十五文】小月旧会六千五百一十二贯九百二文【按应作六千五百一十贯五百又六分文之一】乙库日息旧会二百四十五贯文　大月旧会七千三百五十贯文　小月旧会七千五百贯文【按应作七千一百五贯】