数学

　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　数学　　　　　　　　　天文算法类二【推歩之属】提要
　　【臣】等谨案数学八卷续一卷
　　国朝江永撰永有周礼疑义举要己着録是编因梅文鼎厯算全书为之发明订正而一准
　　钦定厯象考成折其异同一卷曰厯学补论皆因文鼎之説而推阐所未言二卷曰嵗实消长文鼎论嵗实消长以为髙冲近冬至而嵗余渐消过冬至而复渐长永则以为嵗实本无消长消长之故在髙冲之行与小轮之改而嵗节气相距近髙冲者嵗实稍嬴近最髙者稍朒三卷曰恒气注厯文鼎论冬至加减谓当如西法用定气不用恒气而所作疑问补等书又谓当如旧法用恒气注厯永则以为冬至既不用恒气则诸节亦皆当用定气不用恒气故此二卷皆条列文鼎之説而以所见辨于下四卷曰冬至权度元史六厯冬至载晋献公以来四十九事文鼎因作春秋冬至考删去晋献公一事各以其本法推求其故永则以为算术虽明而未有折更因文鼎之法考证厯法史志之误五卷曰七政衍文鼎论七政小轮之动由本天之动七政之动由小轮之动永则以恭按
　　钦定厯象考成五星有三小轮而月更有次均轮且更有圆图文鼎説虽精当而各轮之左旋右旋与帯动自动不动之异尚未能详剖因各为图説以明之六曰金水发微文鼎仍初旧法以金水二星伏见轮同于嵗轮后因门人刘允恭悟得金水二星自有嵗轮而伏见轮乃其绕日圆象因详为之説后杨学山乃颇以为疑永谓文鼎説是学山疑非因为图説以明之七曰中西合法拟草明徐光啓酌定新法凡正朔闰月之类从中不从西定气整度之类从西不从中然因用定气遂以毎月中气时刻为太常过宫时刻系以中法十二宫之名而西法十二宫之名又用之于表永病其错互又整度一事永亦病其言之未尽故着此论以辨之亦多推文鼎之説八曰算賸则推衍三角诸法求其捷要续厯学一卷曰正弧三角疏义以补算賸所未尽故八卷各有小序此卷独无也文鼎厯算推为絶技此更因所已具得所未详踵事而増愈推愈密其于测騐亦可谓深有发明矣乾隆四十六年十一月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　数学卷一
　　婺源江永撰
　　厯学补论
　　【勿庵先生厯学疑问三卷五十二章又补二卷二十四章已为厯法疏通源流指示窔奥永熟味其书别有触悟随笔识之或赘説于本书之外或衍绎于本书之中泰山河海无俟一卷一勺聊自道其管蠡窥测云尔】
　　论天地开辟
　　问天地固当有始如陈星川壤天地人三元之説一元有二千四百一十九万二千年今当人元四百五十六万六千余年者固为荒唐矣邵子皇极经世书谓一元有十二万九千六百年分十二防一防一万八百年天开于子地辟于丑人生于寅禹即位后八年而入未防则自天开至今七万余年生人至今亦五万余年世以邵子精于数学也而信之自西士之书出则自开辟以来只五六千年何若是其不侔耶果孰非而孰是耶曰以理断之疑西説近是也中国有载籍始于唐虞尧至今四千余年尧以前略有传闻而难徴信度有人物之初距唐虞之世其年当不甚逺岂有遥遥五六万年晦冥如夜竟无纪载可稽耶又大西洋载其国古老所记亦似不过四千年夫中国相去数万里而年数符同若斯则四千年以前徧天地有人物者不过一二千年如今日之视秦汉已耳当不以万计也顾天地之开辟虽有最初之年而其醖酿于未开辟之先者必需积渐之久如人兽之胎虫鸟之卵草木之果实根荄皆含生于未生之前此则不知防何年耳曰西士之言固可信矣其纪年亦自不同天地仪书谓自开辟至崇祯庚辰五千六百三十余年圣经直解则云六千八百三十六年依稽古定仪推之则五千七百三十年月离厯指则谓崇祯戊辰为总期之六千三百四十一年诸説孰为是耶曰予尝推之矣其言五千余年是开辟之始太阳最高在春分也此则稽古定仪之年为近【元至元辛巳髙冲在冬至最髙在夏至开辟以来行一象限九十度以今厯一年行一分一秒一十微推之九十度有五千三百余年稽古定仪开辟至至元辛巳五千三百七十年】其言六千余年是开辟之始冬至日躔壁宿为亥末戌初也此则圣经直解之年为近【崇祯庚辰冬至日在箕四度溯前六千八百三十余年约退九十八度日在壁】二者皆有理不知果孰为确耳曰然则古厯家谓上元必是甲子岁前十一月甲子朔旦夜半冬至日月如合璧五星如连珠其説信然乎曰未必然也天地开辟如人之初生已属后天其始尚有胚胎之岁月则甲子日月五星不必皆从始处始也以为始于甲子岁安知其不始于他年乎【西书诸説皆非甲子】以为始于十一月朔安知其不始于十一月望乎【冬至为中气望为月半】以为始于冬至安知其不始于春分乎【天文实用云开辟初时适当春分又云中西皆以角为宿首因开辟首日昏时角为中星也】以为始于甲子夜半则时刻随方有里差西方见早东方见晩西以为子东以为丑东以为子西以为亥徧大地当以何处为正位而定其为夜半冬至乎日月果合璧则开辟之始必日食乎五星仅连珠不犹有未齐同者乎且日月五星各有性情以为始于聚安知其不始于散乎【如人身胚胎之始则聚及其成形脏腑官骸各有部位】达理者黙而观之毋泥前人之説可也以今岁周计之一岁小余一百二十八分日之三十一积一百二十八年四万六千七百五十一日无余分以六十乗一百二十八凡七千六百八十年积二百八十零万五千零六十日天正冬至得甲子年甲子日无余分使开辟之年果在甲子其冬至当自平者始以今日平冬至逆推终不能得甲子朔旦冬至在中国之夜半也而况五星又皆齐同乎以是知厯元不可推也开辟之年约略可知而不可定也
　　论地圆
　　问地为圆形周围九万里南北则以二极之低昻而知之【南北行二百五十里极高下差一度】东西则以月食之蚤晩而知之【地赤道经东西相距七千五百里则月食先后差一时】此惟知厯者能信又必如西人浮海数万里见南极出地数十度而后可騐若拘儒之见不出户牖囿于方隅终疑人不可侧立水不可倒悬告以地圆谓其言犹河汉也柰何曰地之緜亘甚广其圆也以渐人虽绕地行一周恒以足履地首戴天必无倒立之时水之附地而流亦犹是也今试泛舟于江湖登舟之高处望之水之来不见其端水之去不见其尾但觉微有湾环之形惟舟所到即是髙处此何也人目能望数十里此数十里即以渐而圆故也而地圆之最可见者如月食于地景月之亏必作湾形由地景圆故也使地不圆何以有此圆景乎曰地上山髙而海深形有凹凸安得圆曰地之厚二万八千余里山海虽极髙深如胡桃核之皱略有起伏终不碍为圆也或又设一难曰地诚圆矣地之下诚有人居之矣设使地有孔穴上下穿通人投石于穴中此地见石坠而下彼地之人不见石腾而上直至于天乎石惟能下岂能上乎曰此説不足以难地圆也万一有穿通之穴投石其中此石必至地心而止心者四面之极处气之所辏必不令此石得过也以地球之大尚为大气举之处于天心而况石乎
　　梅先生谓周髀中即有地圆之理又谓周髀所传之説必在唐虞以前此皆笃论自古籍散亡中土厯家既失其説而又杂以臆度之见无理之谭如云地有八柱又云地是水载又云地有四防种种谬论涂人耳目即如王蕃言北极出地三十六度此不过就中土地中洛阳北一所见极髙言之非可以此防大地也唐一行尝四方测景未悟地圆郭若思测景尤广南至南海北尽北海凡二十七所各纪其方北极出地昼夜永短似已悟地圆之理而亦未能明白著论意其犹在疑信之间今地圆之説大显是数千年来失者复得厯家据以为测算之根而儒家亦借为穷理之要可不谓厚幸乎【战国时邹衍谈天谓九州之外有大瀛海环之亦似本之于周髀】
　　梅先生引大戴礼曾子答单离居之问以证地圆之论古已有之极确愚谓易大传曰坤至静而徳方中庸曰振河海而不泄皆地圆之证也方言其徳则形体非方可知矣水附于地而流地振之而不泄则地面四方有水非是水载可知矣
　　梅先生又谓地实圆体而有背面中土笃生神圣继天建极垂世立教如人有面为一身精神所聚此真至之理非徒为尊中国之言昔有问于愚者谓列宿分野大地所共中国之地有限何得据之以为占愚思之梅先生此説亦可参悟葢五脏之精开窍于五官则天光下临其精气与中华相属者必尤切是以普天星宿皆有相闗之理也
　　论天大地小
　　问地球周九万里不为小矣而西儒谓天极大地在天中只一防其言果可信与仰而望之日月星辰皆在目天岂若是其寥廓与曰此不可以臆揣也唯精于三角八线割圆之术因七政之行度比次其髙下而各种之天去地之数可得即恒星以上无法可算者亦可想而知矣姑以太阳与土里两重天言之西史第谷后出最精厯算者测太阳行度得其高卑之中处距地一千一百五十地半径【此数仍未确今算一千一百四十二地半径弱】夫地半径一万四千一百三十余里【以周径密率算】以一一四二乗之则日去地有一千六百余万里有竒又地周九万里亦以一一四二乗之则日天之周一万零二百七十八万余里可谓大矣而犹未也火木土三星之天皆在日天之上而各星所行之岁轮【迟疾轮】皆与日天等大因其行岁轮一象限九十度视黄道上得防何度因以测其本轮均轮次轮之半径而知此星之天去地视日天得若干倍火星不及约半倍木星不及约五倍土星行岁轮九十度其视度五度半有竒其切线一万零四百有竒夫轮之半径十万而五度半有竒之切线一万零四百有竒则不止十之一其视日天之高十倍有竒矣又设土星行最髙而当合伏其距地心一十二万六千一百一十七有竒以太阳本天比例为十一倍又一三七三二四地半径有一万二千八百零八弱则土星最高而合伏距地盖一万八千零九十七万余里矣此以星行度实算得之非荒唐之比也土星之髙已如此矣而恒星之天又在土星之上虽无岁轮可测算而以右旋之迟速约略计之日一岁而一周火星二年弱一周髙于日天半倍弱木星十二年一周髙于日天不及五倍土星二十九年半一周髙于日天不啻十倍恒星右旋二万五千余年一周则髙于日天甚逺可知矣况宗动天又在恒星之上常静天又在宗动之上其髙不可思议其视地不犹一微尘乎或曰地小于天如此则日入地下其光当从四旁射上地上可不夜矣而深夜黑暗何也曰地为实体日光不照则成黑影人处地面正当黒影最深最濶之处【地径二万八千余里则影径亦如之渐高乃渐减】安得不夜且气无质不能受日光能受日光者唯月与星有月则能透日光返照而夜明有星则微明月星皆隐则地上之气全黒而夜甚暗矣故地虽小而自能成昼夜也
　　问各星歳轮与日天等大土木火三星本天固可以日天半径略计倍数矣若日天半径倍于地半径者一千一百四十二何从得之曰太阳本轮均轮之半径既可以盈缩极差推而知则最髙时在均轮之底最卑时在均轮之顶亦可得其相距之数矣而最髙最卑太阳则有视径差又射地景至月天则有景径差又太阳近地平则有地面地心髙下差合兹数差参互推算而日天距地可得而知矣岂若旧説言天去地若干万里荒唐无稽者哉
　　论日月地三体大小
　　问人视日月其大似无防而西人言日大于地月小于地日之大于地与月者其相去悬絶得毋无徴不信乎何以知其然也曰此亦以三角八线割圆之术测其本天去地之髙下因以视径而知其实径与实体也日月之行因其盈缩迟疾而知小轮之径因小轮而知大轮之径故日去地一千一百四十二地半径月去地约五十八地半径凡去地半径一倍者其度亦濶一倍地一度二百五十里以一千一百四十二乗之则日天之度计二十八万五千余里日之视径半度有竒【约六十分度之三十一】约得一十五万里地之全径二万八千余里故西人言日径得地径者五又七十五之十四此日之实径也以五十八乗二百五十里则月天之度一万四千五百里月之视径比日视径稍大约六十分度之三十二分竒其径约八千里地径大于月径三倍半有竒此月之实径也若以日视月则日径大于月径约一十九倍凡此皆以实测实算得之非虚言也曰此有实据可考騐乎曰有月之食也食于地景景径约一度半【日月行度有高卑则景径有大小此以其中者言之】则日月地三者之大小可参考而知凡光体等于实体则其景等大而无穷光体小于实体则其景渐逺渐大而无穷唯光体大于实体则其景渐逺渐小而有尽地景能食月不能食星月天卑星天髙故也【张衡灵宪谓闇虚星值之则星亡者非是】观月所处之天地景一度有半约二万二千余里则日之大于地防何月之小于地防何皆可用法推算矣曰日径大于地径五倍有竒而西人又言日大于地球一百六十五倍竒日大于月径约十九倍而西人又言大于月六千五百三十八倍竒地径大于月三倍半有竒而西人又言大于月三十八倍竒何若是之不伦耶曰前以径相较者平圆也此以实体相较者浑圆也算浑圆实体之法以径自乗又以径乗之而得实体之圆分积两圆相较可得其差【借立方算浑圆详见算賸】今用法推算则日之实体大于地者一百四十九倍竒大于月者六千五百九十倍竒地之实体大于月者四十倍竒与西人之算或多或少葢利西泰测算里数小有不同耳【利氏説见天学初函】梅先生似以日大于地一百六十五倍者为径也故谓两数相悬不啻霄壤若以实体较论则了然矣【方宻之通雅不信日大扵地百余倍谓日光甚烈人在地上必死亦考之未详耳】
　　论日月星皆有质
　　问日月星皆气为之乎抑实有其质乎曰实有其质也其质非金非玉非石葢自有其质非人世所有者也若但有气无质岂能终古不改变乎西士以逺镜窥日月亦不正圆而月中之黒处古人妄谓蟾蜍顾兔宋人误以为山河大地之影者西人则名之为月驳谓由月体自生如地有岩洞日光照不到处则现黒影此非实有质而何日月如此星可知矣曰三光唯有气也故能浮空若实有质何以不坠曰日月星各有其本天其本天皆以地为心地即其所着之根而日月星又各着于小轮之上其根甚固安得坠如地球极重终古亦不坠素问所谓大气举之是也曰地球正当天心四面皆气辏之故能空悬于天中若日月星之重体在天上何以不坠曰物各有其性情三光之性情丽天者也天犹水也水不能浮沙石而能载大木木之性情自不沈也又何疑焉曰星有陨为石者岂非有质即不能浮空与曰陨石之星非天星也由地上火土之气上冲火际偶然融结而陨也岂有恒星天之星而或陨者哉【微茫之恒星亦大于地】