五经算术

　　按《周礼》据千里为法，则公国四，侯国六，伯国十一，子国二十五，男国一百六十四。合二百一十国者，非周之数矣。据地方一千里为地一百万里。五国合为地五百万里。方百里者五十九。方百里为地一万里。五十九国合为地五十九万里。上二法，计得地五百五十九万里。容前二百一十国，余方百里者四十一。方百里为地一万里；百里之国四十一，为地四十一万里。上据地以下三法，合地六百万里。一州之大数。

　　「古者以周尺八尺为步，今以周尺六尺四寸为步。古者百亩当今东田百四十六亩三十步。古者百里当今百二十一里六十步四尺二寸二分。」

　　注云：「周尺之数，未之详闻。按礼制，周犹以十寸为尺。盖六国时多变乱法度。或言周尺八寸，则步更为八八六十四寸。以此计之，古者百亩当今百五十六亩二十五步。古者百里当今百二十五里也。」

　　甄鸾按：「古者以周尺八尺为步，今以周尺六尺四寸为步。古者一百亩当今东田一百四十六亩三十步。」计之法：置古步八尺，以八寸乘之为六十四寸。自相乘得四千九十六寸为古步法。又置今步六尺，以八寸乘之，内四寸，得五十二寸。自相乘得二千七百四寸为今步法。置田一百亩，以百步乘之得一万步。以古步法乘之，得四千九十六万寸为实。以今步法二千七百四寸除之，得一万五千一百四十七步。不尽二千五百一十二寸，约之得一百六十九分步之一百五十七。以亩法一百步除积步，得一百五十一亩，余四十七步及分。以经中东田一百四十六亩三十步减之，计剩五亩一十七步及分。此即经自不合。

　　求经云：「古者百里当今一百二十二十一里六十步四尺二寸二分」法：置百里，以三百步乘之，得三万步。以古一步六十四寸乘之，得一百九十二万寸。以今步法五十二寸除之，得三万六千九百二十三步，余四寸。以里法三百步除积步，得一百二十三里，不尽二十三步四寸。以经中一百二十一里六十步四尺二寸二分减之，计剩一里二百六十二步一尺三寸八分。亦经自不合。

　　求郑氏注云：「古者百亩当今一百五十六亩二十五步。」依郑计之法：置经中古者八十寸，今六十四寸相约。古步率得五，今步率得四。古步率五自乘得二十五为古步法；今步率四自乘得十六为今步法。置田一百亩为一万步。以古步法二十五乘之得二十五万。以今步法十六除之得一万五千六百二十五步。以亩法一百步除之，得一百五十六亩，不尽二十五步。

　　求郑注云：「古者百里当今一百二十五里」法：置一百里，以三百步乘之，得三万步。以古步率五乘之，得一十五万为实。以今步率四乘里法三百步，得一千二百为法。实如法而一，得一百二十五里。按经自不合；郑注又不与经同。未详所以。

　　《五经算术》〈卷下〉

　　《礼记》月令黄锺律管法：

　　黄锺术曰：置一算，以三九遍因之为法。置一算，以三因之得三，又三因之得九，又三因之得二十七，又三因之得八十一，又三因之得二百四十三，又三因之得七百二十九，又三因之得二千一百八十七，又三因之得六千五百六十一，又三因之得一万九千六百八十三为法。即是黄锺一寸之积分。重张其位于上，以三再因之，为黄锺之实。以法除之，得黄锺，十一月，管长九寸。

　　置黄锺一寸积分一万九千六百八十三。以三因之得五万九千四十九。又置五万九千四十九。以三因之得十七万七千一百四十七，为黄锺实。以寸法一万九千六百八十三除实，得黄锺之管长九寸。

　　黄锺下生林锺，六月，管长六寸。置黄锺管长九寸。以二乘之得十八，以三除之得林锺管长六寸。

　　林锺上生太蔟，正月，管长八寸。置林锺管长六寸。以四乘之，得二十四。以三除之，得太蔟管长八寸。

　　太蔟下生南吕，八月，管长五寸三分寸之一。置太蔟之管八寸。以二乘之得十六；以三除之，得南吕之管长五寸三分寸之一。

　　南吕上生姑洗，三月，管长七寸九分寸之一。置南吕管长五寸。以分母三乘之，内子一得十六。以四乘之，得六十四。以三乘法三得九为法以除之，得姑洗之管长七寸九分寸之一。

　　姑洗下生应锺，十月，管长四寸二十七分寸之二十。置姑洗管长七寸。以分母九乘之，内子一得六十四。以二乘之得一百二十八。以分母九乘法三得二十七为法以除之，得应锺之管长四寸二十七分寸之二十。

　　应锺上生蕤宾，五月，管长六寸八十一分寸之二十六。置应锺管长四寸。以分母二十七乘之，内子二十得一百二十八。以四乘之，得五百一十二。以分母二十七乘法三得八十一为法。除之得蕤宾管长六寸八十一分寸之二十六。

　　蕤宾上生大吕，十二月，管长八寸二百四十三分寸之一百四。置蕤宾管长六寸。以分母八十一乘之，内子二十六得五百一十二。以四乘之得二千四十八为实。以分母八十一乘法三得二百四十三为法。除之得大吕之管长八寸二百四十三分寸之一百四。

　　大吕下生夷则，七月，管长五寸七百二十九分寸之四百五十一。置大吕管长八寸。以分母二百四十三乘之，内子一百四得二千四十八。以二乘之，得四千九十六为实。以分母二百四十三乘法三得七百二十九为法。除之得夷则管长五寸七百二十九分寸之四百五十一。

　　夷则上生夹锺，二月，管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。置夷则管长五寸。以分母七百二十九乘之，内子四百五十一得四千九十六。以四乘之得一万六千三百八十四为实。以分母七百二十九乘法三得二千一百八十七为法。除之得夹锺管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五。

　　夹锺下生无射，九月，管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四。置夹锺管长七寸。以分母二千一百八十七乘之，内子一千七十五得一万六千三百八十四。以二乘之，得三万二千七百六十八为实。以分母二千一百八十七乘法三得六千五百六十一为法。除之得无射管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四。

　　无射上生中吕，四月，管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四。置无射管长四寸。以分母六千五百六十一乘之，内子六千五百二十四得三万二千七百六十八。以四乘之得十三万一千七十二为实。以分母六千五百六十一乘法三得一万九千六百八十三为法。除之得中吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四。

　　《礼记》礼运注始于黄锺终于南吕法：

　　「五行之动迭相竭。五行、四时、十二月还相为本。五声、六律、十二管还相为宫。五味六和、十二食还相为滑。五色、六章、十二衣还相为质。」注云：「竭犹负载也。言五行运转，更相为始。五声宫、商、角、征、羽。其管阳曰律；阴曰吕。布在十二辰，始于黄锺九寸。下生者三分去一；上生者三分益一，终于南吕。更相为宫，凡六十律。」

　　甄鸾按：五声、六律、十二管还相为宫，终于南吕：

　　黄锺为宫，林锺为征，太蔟为商，南吕为羽，姑洗为角；

　　林锺为宫，太蔟为征，南吕为商，姑洗为羽，应锺为角；

　　太蔟为宫，南吕为征，姑洗为商，应锺为羽，蕤宾为角；

　　南吕为宫，姑洗为征，应锺为商，蕤宾为羽，大吕为角；

　　姑洗为宫，应锺为征，蕤宾为商，大吕为羽，夷则为角；

　　应锺为宫，蕤宾为征，大吕为商，夷则为羽，夹锺为角；

　　蕤宾为宫，大吕为征，夷则为商，夹锺为羽，无射为角；

　　大吕为宫，夷则为征，夹锺为商，无射为羽，中吕为角；

　　夷则为宫，夹锺为征，无射为商，中吕为羽，黄锺为角；

　　夹锺为宫，无射为征，中吕为商，黄锺为羽，林锺为角；

　　无射为宫，中吕为征，黄锺为商，林锺为羽，太蔟为角；

　　中吕为宫，黄锺为征，林锺为商，太蔟为羽，南吕为角；

　　甄鸾按：《礼记》注一本乃有云：「始于黄锺，终于南事」者，更显之于后。

　　礼运一本注「始于黄锺，终于南事」法：

　　甄鸾按：司马彪律历志：

　　黄锺下生林锺，林锺上生太蔟，太蔟下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗下生应锺，应锺上生蕤宾，蕤宾上生大吕，大吕下生夷则，夷则上生夹锺，夹锺下生无射，无射上生中吕，中吕上生执始，执始下生去灭，去灭上生时息，时息下生结躬，结躬上生变虞，变虞下生迟内，迟内上生盛变，盛变上生分否，分否下生解形，解形上生开时，开时下生闭掩，闭掩上生南中，南中上生丙盛，丙盛下生安度，安度上生屈齐，屈齐下生归期，归期上生路时，路时下生未育，未育上生离宫，离宫上生凌阴，离宫下生去南，去南上生族嘉，族嘉下生邻齐，邻齐上生内负，内负上生分动，分动下生归嘉，归嘉上生随期，随期下生未卯，未卯上生形始，形始下生迟时，迟时上生制时，制时上生少出，少出下生分积，分积上生争南，争南下生期保，期保上生物应，物应上生质末，质末下生否与，否与上生形晋，形晋下生夷汗，夷汗上生依行，依行上生色育，色育下生谦待，谦待上生未知，未知下生白吕，白吕上生南授，南授下生分乌，分乌上生南事，南事不生。

　　甄鸾按：司马彪志序云：「汉兴，北平侯张苍首治律历。孝武正乐，置协律之官。至元始中，博征通知锺律者，考其意义。刘歆典领条奏。前史班固取以为志。而元帝时，郎中京房之五声之音，六律之数。上使太子太傅元成、谏议大夫章杂试问房于乐府。房对：受学故小黄令焦延寿。六十律相生之法：以上生下皆三生二；以下生上皆三生四。阳下生阴；阴上生阳。始于黄锺；终于中吕，而十二律毕矣。夫十二律之变至于六十，犹八卦之变至于六十四也。宓羲作易，纪阳气之初，以为律法建日冬至之声。以黄锺为宫，太蔟为商，姑洗为角，林锺为征，南吕为羽，应锺为变宫，蕤宾为变征。此声气之元，五音之正也。故各统一月，其余以次运行。当月者各自为宫，而商征以类从焉。礼运篇曰：「五声、六律、十二管还相为宫。」此之谓也。以六十律分期之日：黄锺自冬至始，及冬至而复。阴阳寒燠，风雨之占生焉。所以检摄群音，考其高下；茍非革木之声，则无不有所合。」

　　「竹声不可以度调，故作准以定数。准之状如瑟，长丈而十三弦；隐间九尺，以应黄锺之律九寸。中央一弦下有画分寸，以为六十律清浊之节。」

　　「律术曰：阳以圆为形，其性动。阴以方为节，其性静。动者数三；静者数二。以阳生阴倍之，以阴生阳四之；皆三而一。阳生阴曰下生；阴生阳曰上生。上生不得过黄锺之浊；下生不得不及黄锺之清。皆参天两地、圆益方覆、六耦承奇之道也。黄锺律吕之首，而生十二律者也。其相生也，三分而损益之。是故十二律之得十七万七千一百四十七。是为黄锺之实。」

　　如前置一算，以三九遍因之，得一万九千六百八十三，为黄锺一寸之积分；即为一寸之法。即以三再因之，得一十七万七千一百四十七，为黄锺之实。以寸法除之，得黄锺之管长九寸。又以二乘而三约之，是谓下生林锺之实。置黄锺之实十七万七千一百四十七。以二因之得三十五万四千二百九十四。以三除之，得一十一万八千九十八。为林锺之实。以寸法一万九千六百八十三除之，得林锺之管长六寸。又以四乘而三约之，是谓上生太蔟之实。置林锺之实十一万八千九十八。以四因之，得四十七万二千三百九十二；以三除之得十五万七千四百六十四，为太蔟之实。以寸法一万九千六百八十三除之，得太蔟之管长八寸。自余诸管上下相生，皆仿此。

　　「推此上下以定六十律之实。以九三之数万九千六百八十三为法。实如法于律为寸，于准为尺；于律为分，于准为寸。不盈者十之，所得为分；又不盈十之，所得为小分。以其余正其强弱。」

　　子，黄锺实十七万七千一百四十七，律九寸。下生林锺。色育实十七万六千七百七十六，律八寸九分(小分八，微强)，下生谦待；执始实十七万四千七百六十二，律八寸八分(小分七，太强)，下生去灭；丙盛实十七万二千四百一十，律八寸七分(小分六，微弱)，下生安度；分动实十七万八十九，律八寸六分(小分四，微强)，下生归嘉；质末实十六万七千八百，律八寸五分(小分二，半强)，下生否与。

　　丑，大吕实十六万五千八百八十八，律八寸四分(小分三，弱)，下生夷则；分否实十六万三千六百五十四，律八寸三分(小分一，少强)，下生解形；凌阴实十六万一千四百五十二，律八寸二分(小分一，弱)，下生去南；少出实十五万九千二百八十，律八寸(小分九，强)，下生分积。

　　寅，太蔟实十五万七千四百六十四，律八寸，下生南吕；未知实十五万七千一百三十四，律七寸九分(小分八，强)，下生白吕；时息实十五万五千三百四十四，律七寸八分(小分九，强)，下生结躬；屈齐实十五万三千二百五十四，律七寸七分(小分八，半强)，下生归期；随期实十五万一千一百九十一，律七寸六分(小分八，微强)，下生未卯；形晋实十四万九千一百五十六，律七寸五分(小分八，弱)，下生夷汗。

　　卯，夹锺实十四万七千四百五十六，律七寸四分(小分九，微强)，下生无射；开时实十四万五千四百七十一，律七寸三分(小分九，微强)，下生闭掩；族嘉实十四万三千五百一十三，律七寸二分(小分九，微强)，下生邻齐；争南实十四万一千五百八十二，律七寸一分(小分九，强)，下生期保。