九章算术

九章算术汉张苍

　　昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。《周官大司徒》职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。案：《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美，辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入，博物君子，详而览焉。

　　卷一

　　○方田（以御田畴界域）

　　今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。

　　又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。

　　〔图：从十四，广十二。〕

　　方田术曰：广从步数相乘得积步。

　　〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

　　淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存善去非，略为料简，遗诸后学。〕

　　以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

　　〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。

　　二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕

　　今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。

　　又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

　　里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

　　〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。〕

　　今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。

　　又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。

　　○约分

　　〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。

　　设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕

　　术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

　　〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕

　　今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。

　　又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三分之五十。

　　又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得二、六十分之四十三。

　　○合分

　　〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕

　　术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。

　　〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕

　　实如法而一。不满法者，以法命之。

　　〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕

　　其母同者，直相从之。

　　今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。

　　又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。

　　○减分

　　〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰减分。〕

　　术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。

　　〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕

　　今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

　　又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。

　　又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

　　○课分

　　〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕

　　术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。

　　〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕

　　今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。

　　又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

　　○平分

　　〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。〕

　　术曰：母互乘子，〔齐其子也。〕

　　副并为平实。

　　〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，限为平。〕

　　母相乘为法。

　　〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕

　　以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

　　〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。

　　淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕

　　以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

　　今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之四。

　　又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰：人得二钱八分钱之一。

　　○经分

　　〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以人数分所分，故曰经分也。〕

　　术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。

　　〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。

　　乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令两分母相乘法实也。〕

　　重有分者同而通之。

　　〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内子，又令分母互乘上下。〕

　　今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十二。

　　又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。

　　又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。

　　○乘分

　　〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕

　　术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

　　〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则三术同归也。〕

　　今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。

　　又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百二十步九分步之五。

　　又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：一亩二百步十一分步之七。

　　○大广田

　　〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕

　　术曰：分母各乘其全，分子从之，〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕

　　相乘为实。分母相乘为法。

　　〔犹乘分也。〕

　　实如法而一。

　　〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘为法而连除之。〕

　　今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。

　　又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十三步六分步之五。

　　术曰：半广以乘正从。

　　〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕

　　今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？答曰：九亩一百四十四步。

　　又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？答曰：二十三亩七十步。

　　术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。

　　〔并而半之者，以盈补虚也。〕

　　今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩一百三十五步。

　　又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几何？答曰：四十六亩二百三十二步半。

　　术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。

　　〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕

　　今有圆田，周三十步，径十步。

　　〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径九步十一分步之六。〕

　　问为田几何？答曰：七十五步。