益古演段

　　答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步
　　实径三十四步
　　法曰立天元一为内方靣以减一百七十二得□丨为外田径也【倍云数得一千二百四步别得是六个圆径八个方靣两个实径今将一个方靣两个实径合成一个圆俓并前数而计是七个方靣七个圆径也今置一千二百四步在地以七约之
　　得一百七十二步为径靣共也便是一个方靣一个圆径更无
　　实径也】以自增乘得□□丨为圆
　　径幂也以三之得□□□为四
　　段圆田积于头再立天元内池
　　靣以自之又就分四之得【元○】□为四池积以减头位得□□丨为四段如积寄左然后列见积八千九十六步又就分四之得三万二千三百八十四步与左相消得□□丨开平方得五十二步为内方靣也以七之方靣减于倍和步余以七而一即圆径也圆径内减方靣余者又半之即实径也
　　依条段求之径靣共一百七十二也自之为幂又三之于头位内减四之见积余为实六之径靣共步为从一常法

　　义曰四之真积内有四个方池于从法内叠周了三个外剰一个故以一步为常法
　　旧术曰倍相和步自乗三之为头位以一百九十六步【按此即四与四十九相乗之数】之田积减头位余以十四而一为实又六之相和步为从法廉常置三步半开平方见内方靣
　　第二十问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地二千四百七十五步只云内外周与斜径相和得二百五十九步半问三事各多少
　　答曰外圆周一百八十步　内方周六十步　斜
　　十九步半
　　法曰立天元一为内方靣以三
　　十三之减于十之云数二千五
　　百九十五步得□□为三十五
　　个圆田径【十之云数内有外圆径三十个内方靣四】
　　【十个角斜十个今将七个方靣并入十个角斜为五个圆径也总别得十之云数是方靣三十三个圆径三十五个外更无斜径角也】乃以三十五之圆径自増乗得下式□□□为一千二百二十五段圆径幂也以三因之得□□□合以四除之今不除便为四千九百段圆田积于头再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□为四千九百段方池积以减头位得□□□为四千九百段如积数寄左然后列真积二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二万七千五百步与左相消得□□□平方开得一十五步为内方靣方【三十三之方靣以减于十之相和二千五百九十五步余三十五而一即圆径以方靣加四减圆径余半之即斜径也】
　　依条段求之十之相和步自之为幂以三之于头位以四千九百段见积减头位为实一千九百八十之相和步为从一千六百三十三为常法
　　义曰减数计三千六百七十五个圆径幂便是四千九百个圆田积也内漏下四千九百个方池却于从
　　内叠用了三千二
　　百六十七个方池
　　外犹剰一千六百
　　三十三个方靣幂故以之为常法也其从法元有一百九十八个方靣合用一百九十八之相和步为从今用一千九百八十个相和步者縁为相和步先进了一位也
　　第二十一问
　　今有方田三段共计积四千七百七十步只云方方相较等三方靣共并得一百八步问三方多少
　　答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小
　　方靣一十五步
　　法曰立天元一为方差以减中方靣
　　【置并数三而一即得中方靣】得□丨为小方靣也
　　以自之得□□丨为小方积于头再
　　立天元方差加入中方靣得□丨为
　　大方靣以自之得□□丨为大方积于次位又列中方靣□自之得下□为中方积于下位三位相并得□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即是方差也【置方差数加中方即大方靣减中方即小方靣也】
　　依条段求之列并数以三约之所得即中方靣也以自之为幂又三之以减积为实无从二步常法义曰积步内减三个中方幂外有两个方故得二步
　　常法旧术又折半止得一个
　　方也

　　第二十二问
　　今有方田一段其西北隅被斜水占之外计地一千二百一十二步七分半只云从田东南隅至水楞四十五步半问田方靣多少
　　答曰田方靣三十五步
　　法曰立天元一为水占斜加入
　　云数四十五步半得□【元丨】为田
　　斜以自増乗得□步□丨为田
　　斜幂于头再立天元一水占斜
　　以自之为水占得小方积就分以一步九分六厘乗
　　之得【元○】□　　　　　　　　　【步】为所展得水占积也以减头位得□□
　　□　　　　　　【步】为如积一段寄左然后列真积一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘与左相消得□□□开平方得三步半为水占斜加至步为田斜身外减四即是方靣也
　　依条段求之展积内减至步幂为实二之至步为从九分六厘虚常法开平方得三步半即水占斜也义曰今将水占斜直命为小方池靣也
　　旧术曰列田积于头位又列至步除四则直至步以
　　自乗减头位余为实二之直至
　　为从以九分六厘为廉从开平
　　方得二步半加直至步三十二
　　步半得三十五步即田方靣也
　　此图即旧术条段也旧术减云
　　步为直至步入法而求得二步
　　半为直至不及方靣步新术展
　　积入法而求得三步半为水占
　　斜

　　益古演段卷上
　　钦定四库全书
　　益古演段卷中　　　　　　元　李冶　撰第二十三问
　　今有圆方田各为叚共计积一千三百七步半只云方面大如圆径一十步圆依密率问面径各多少答曰方面三十一步　圆径二十一步
　　法曰立天元一为圆径加一十步得□丨为方面以自之得□【○二】丨为方田积以十四之得下式□□□
　　为十四叚方田积于头又立天元
　　圆径以自乗为幂又以十一之得
　　【太○】□便为十四叚圆田积【依密率合以径
　　自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就为十四分母】
　　【也】以并入头位得□□□为十四叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分十四之得一万八千三百五步与左相消得□□□开平方除之得二十一步为密率径也加不及步为方田也
　　依条叚求之十四之积步于上内减十四叚不及步幂为实二十八之不及步为从二十五步常法
　　义曰将此十四个方幂之式
　　只作一个方幂求之自见隅
　　从也
　　第二十四问
　　今有方圆田合一叚共计积一千四百六十七步只云方面与圆径相穿得五十四步问面径各多少答曰方面一十二步　圆径四十二步
　　法曰立天元一为圆径减穿步五十
　　四步得□丨为方田面以自増乗得
　　下式□□丨为方田积于头位再立
　　天元圆径以自之又三之四而一得
　　【元○】□为圆田积也并入头位得□□□为一叚如积寄左然后列真积一千四百六十七步与左相消得□□□倒积倒从开平方得四十二步为圆田径也以减穿步即方面
　　按法内所言倒积倒从即飜积法也盖初商积常减原积此独以原积减初商积倍防常减従步此独以従步减倍防乃平方中之一变也古法多用之今依数布算于后以存其式
　　法列积一千四百四十九步为实以一百零八步为
　　长与一濶又七分半之和即从数求
　　濶初商四十步以一濶七分半乗之
　　得七十步以减和数余三十八步以
　　初商乗之得一千五百二十步为初
　　商积大扵原积反减之余实七十一
　　步乃二因一濶七分半所乗初商之
　　数得一百四十步大扵和数反减之
　　余三十二步为次商防次商二步以
　　一濶七分半乗之得三步半为次商
　　隅凡和数防隅相减此反相加得三
　　十五步半以次商乗之得七十一步为次商积与余积相减恰尽开得濶四十二步
　　依条叚求之穿步幂内减田积为实倍穿步为従一步七分半虚常法
　　义曰二之従步内元减了七分半
　　又叠了一步计虚却一步七分半
　　也
　　第二十五问
　　今有方圆田各一叚共计积一千三百七步半只云方周大如圆周五十八步问方圆各多少【圆依密率】
　　答曰方周一百二十四步　圆周六十六步
　　法曰立天元一为圆周加周差五十
　　八步得□丨为方田周以自増乗得
　　下式□□丨为方周幂便是十六个
　　方田积又就密率分母一十一之得
　　□□□为一百七十六叚方田积于头又立天元圆周以自之为幂又就分一十四之得【元○】□为一百七十六叚圆田积【依密率周上求积合以周自乗又以七乗之如八十八而一为一叚田积也今又周宻上更以十四乗之则合用一百七十六而一故就分便为此数】以添入头位得□□□共为一百七十六叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三万一百二十步与左相消得□□□开平方得六十六步为圆田周也加多步见方周
　　依条叚求之一百七十六之积内减一十一叚多步幂为实二十二之多步为从二十五步常法
　　义曰一百七十六之积步内
　　有一十一个方周方一十四
　　个圆周方也今画此式其一
　　十四个圆周方与一十一个圆周方大小俱同者止为欲见差步权作此式其实合作一十二叚圆式求之其实自见也【按十一方周幂十四圆周幂共积内减去十一不及幂余不及步乗圆周长方二十二圆周幂二十五故以二十二不及步为従二十五为隅也】
　　第二十六问
　　今有方圆田各一叚共计一千四百五十六步只云方周大如圆周方圆周共相和得二百步问二周各多少答曰方周一百二十八步　圆周七十二步
　　法曰立天元一为圆周减于相和二
　　百步得□丨为方周以自乗得□□
　　丨为方周幂【是十六个方积也】就分三之得
　　□□□为四十八叚方田积扵头再
　　立天元圆周以自之又就分四之得【元○】□亦为四十八叚圆田积并入头位得□□□为四十八叚如积数寄左然后列真积一千四百五十六步就分四十八之得六万九千八百八十八步与左相消得□□□开平方得七十二步为圆田径也减共步则方周
　　依条叚求之三叚和步幂内减四十八之田积为实六之和步为従七益隅

　　义曰减时减过一个方六之従步内又欠六个方共虚了七步故以为益隅
　　第二十七问
　　今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方面不及圆径一十二步圆依密率问面径各多少答曰方面三十步　圆径四十二步
　　法曰立天元一为方面加不及一十
　　二步得□丨为圆径以自之得□□
　　丨为圆径幂以一十一之得下式□
　　□□便为十四个圆积于头再立天
　　元方面以自之又就分一十四之得【元○】□为十四个方积也并又头位得□□□为十四叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分一十四之得三万二千四步与左相消得下式□□□平方开之得三十步即方面也加不及一十二步即圆径也依条叚求之十四之真积内减一十一叚差步幂为实二十二之差步为従差步即不及步二十五歩常法
　　义曰十四之积步内有一十
　　一个圆径方与一十四个方
　　面方此式与第二十五问畧
　　同其一十一个圆径幂有十一个方正当十一叚之其数自见也
　　第二十八问
　　今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方周不及圆周一十二步问周各若干【圆依密率】
　　答曰方周一百二十步　圆周一百三十二步
　　法曰立天元一为方周加不及步一十二得【太□】丨为圆周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□
　　为一百七十六叚密率积扵头再立
　　天元方周以自之为方积一十六叚
　　又就分一十一之得【元○】□便为一百
　　七十六叚方田积并入头位得下式
　　□□□为一百七十六叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十万二千三百三十六步与左相消得□□□开平方得一百二十步为方周加不及步即圆周也依条叚求之一百七十六之真积内减十四叚差步幂为方实二十八之差步为従二十五常法
　　义曰所减数乃十四叚不及
　　步幂也

　　第二十九问
　　今有方圆田各一叚共计积一千四百四十三步只云圆周大如方周方圆周并得一百九十八步问二周各多少
　　答曰方周九十六步　圆周一百二步
　　法曰立天元一为方周减共步一百
　　九十八得□丨为圆周以自増乗得
　　□□丨为十二叚圆田积四之得下
　　□□□为四十八叚圆田积扵头再
　　立天元方周以自之为十六叚方田积又就分三之得【元○】□便为四十八叚方田积并入头位得□□□为四十八叚如积寄左然后列真积一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六万九千二百六十四与左相消得□□□开平方得九十六步为方周也减于并数见圆周也依条叚求之四叚共步幂内减四十八之积为实八之共步为従七益隅

　　义曰八之从内合虚八个方今见有一个方外只虚了七步方也
　　第三十问
　　今有圆田二叚【一叚依圆三径一率一叚依密率】共积六百六十一步只云二径共相和得四十步问二径各数
　　答曰密径一十四步　古径二十六步
　　法曰立天元一为密径以减相和四十步得□丨为古径以自之得下□□丨为古径幂以三因之得□
　　□□合以四约之又就分母七之得
　　□□□为二十八叚古圆积于头再
　　立天元密圆径以自之又二十二之
　　得【元○】□为二十八叚密圆积也并入
　　头位得□□□为二十八叚如积寄左然后列真积六百六十一步就分二十八乗之得一万八千五百八步与左相消得□□□平方开之得一十四步为密圆径以减和步即古径也
　　依条叚求之二十一叚和步幂内减二十八之田积为实四十二之和步为从四十三步虚常法
　　义曰其二十八之田积内有古
　　积二十一叚密积二十二叚元初