益古演段

　　义曰十六个圆池该十二个方内从步合除去九个方外犹剰三个方故以三步为常法也
　　旧术曰列相和步自乗为头位又以十六之田积减头位又六而一为实以相和步为从法廉常置五分

　　第九问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外周与实径共相得三百三十步问三事各多少
　　答曰外方周二百四十步　实径十八步　圆周七十二步
　　法曰立天元一为池径以五之
　　减倍之相和步得□□为九个
　　方靣以自増乗得□□□为八
　　十一段方田积于头位【二之相和步别】
　　【得是八方面六圆径二实径今二实径与一圆径就成一方靣共前数计九方靣五圆径却更无实径也】再立天元池径以自之又以六十步七分半乗之得【元○】□为八十一个圆池【所以用六十步七分半乘之者欲齐其八十一分母也每个圆池七分半以八十一通之得六十步七分半也】以此减头位余□□□为八十一段如积寄左然后列真积三千一百六十八步以八十一通之得二十五万六千六百○八与
　　左相消得下□□□　　　　　　　　　　　　　【步】开平方得二十四步为池径也五因池径减倍相和余九而一得方田靣以池径减方余折半为实径
　　依条段求之倍共步自乗于头以八十一之田积减头位余为实二十之共步为从三十五步七分半为常法
　　义曰八十一个方田内起八
　　十一个圆池每个圆池七分半
　　此八十一个计该六十步七分
　　半其从步内合除去二十五个
　　外犹剰三十五个七分半故以之为常法也
　　旧术曰倍相和步自乗为头位又以八十一乗田积减头位余退一位为实倍相和步为从法廉常置三步五分七厘半
　　第十问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外方圆周与斜径共相和得三百四十二步问三事各多少
　　答曰外方周二百四十步　内圆周七十二步
　　斜三十步
　　法曰立天元一为池径以二十
　　五之减于十之相和三千四百
　　二十步得□□为四十七个外
　　方靣以自増乗得□□□为二
　　千二百九段方田积于头位【十之相和步三千四百二十为方靣四十个内池径三十个斜至步一十个以一十个斜至步合入五个池径共得五斜此五斜却便是七个方靣计总数该四十七个方靣二十五个圆径外更无斜至步也】再立天元池径以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】　□为二千二百○九个圆池积也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齐其二千二百○九分母也每一个圆池积七分半今有二千二百○九个圆池积以七分半乘之该一千六百五十六步七分半也】以此减头位得□□□为二千二百九段如积数寄左然后列真积三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九万八千一百一十二步与左相消得□□□开平方得二十四步即池径也以二十五之圆径减十之和步余四十七而一得为外方靣身加四内减了圆池径余折半为斜径也
　　按法内所用四十七方靣之数亦由立天元一法取出但截去前段恐初学不能无疑兹仍依其法补之
　　法立天元一为池径五因之以减倍和得□□为八方靣一斜共数以方五因之得□□为实又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七并之得四十七为法除实得方靣不除便为四十七个方靣也
　　依条段求之相和步进一位自乗于头位以二千二百九之真积减头位余为实五百之和步为益从一千三十一步七分五厘为益隅
　　义曰减数系是二千二百九段方靣幂内却漏下二千二百九个圆池此数该一千六百五十六个七分
　　圆径幂却于从步上叠用了六
　　百二十五个池径幂外犹剰一
　　千三十一个七分五厘故以之
　　为隅法其从法元有五十个圆
　　径今命为之五百者縁相和步进一位也
　　旧术曰列相和步进一位自相乗为头位以二千二百九之积减头位余以三之为实又以一千五百之相和步为从法廉常置三千九十五步二分半开平方见池径
　　第十一问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地二十五亩余二百四步只云从外田楞至四边各三十二步问外圆内方各多少
　　答曰外圆径一百步　内方靣三十六步
　　法曰立天元一为内方靣加倍至步为外田径以自之得下式□□丨又三之得□□□为四段圆田积
　　于头再立天元方靣以自之又
　　就分母四之得【元○】□为四池积
　　以减头位得□□丨为四段如
　　积数寄左然后列真积又就分
　　四之得二万四千八百一十六步与左相消得□□丨开平方得三十六步为方池靣也加倍至步即圆径也
　　依条段求之四之积步于头位【作三个外圆径幂内出了四个方池积也】内减十二之至步幂为实十二之至步为从一虚隅

　　义曰四个外圆田内减了十二段至步幂复以十二之至步为从又合去四个方池今元积内有三个虚池外犹欠一个虚池故以一步为虚隅常减从以为法
　　又有圆田一段中有方池水占之外有田五十步只云方池一尖抵圆边其一尖至圆边三步问圆径方靣各若干
　　答曰径十歩　靣五步
　　法曰立天元一为方斜加三步
　　为圆径以自之又以一步九分
　　六厘乗之得□　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【步】□□【按此为一平方
　　九分六厘多十一元七分六厘多十七步六分四厘诸条皆步】
　　【数在上此条独步数在下】又三之得□　　　　　　　　　　　　　　　【步】□□内减四之天元幂得上层□中下云云【按即多三十五元二分八厘多五十二平方九分二厘】寄左然后置五十步两度加四得□【步】又四之得□【步】与左相消得下层三百三十九步○八厘【按此下当加与一平方八分八厘多三十五元二分八厘等十八字方明】负开平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圆径下位身外减四即方靣也合问
　　依条段求之四段展起见积内减三段展起至步幂为实六之至步展起为从一步八分八厘为常法也此问若求方靣则其法甚易今求方斜故其图须细分之

　　义曰三个九分六厘共计二步八分八厘其元初作四段如积时合有四个所展之池今来只见三个故于二步八分八厘内去却一步有余只有一步八分八厘为常法也【此法于别纸上抄得故録于此】
　　第十二问
　　今有圆田一段内有方池水占之外有地二十五亩零二百四步只云从外田楞通内方方靣六十八步问各数若干
　　答曰外圆径一百步内方靣三十六步
　　法曰立天元一为内方靣减倍通步得□丨为外圆
　　径以自之得□□丨为圆径幂
　　以三之得□□□为四段圆田
　　积于头再立天元内方靣以自
　　之又就分母四之得【元○】□为四
　　段方池积以减头位得□□丨为四段如积数寄左然后以四之见积二万四千八百一十六步与左相消得□□丨平方开之得三十六步为内方靣也减倍通步即圆径
　　依条段求之十二段至步幂内减四之见积为实十二之通步为从一常法
　　义曰所减数内剰
　　下四个方池叠补
　　了三个外犹剰一
　　个故以之为常法
　　第十三问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地五千步只云从外田楞至内池角四边各一十五步问方圆各多少
　　答曰外圆径一百步　内方靣五十步
　　法曰立天元一为内方靣身外
　　加四为内方斜又加倍至步得
　　□□为外圆径也以自増乗得
　　□□□为外径幂以三之得□
　　□□为四段外圆积于头再立天元内方靣以自之又四之得【元○】□为四段方池积也以减头位余□□□为四段如积数寄左然后列四之见积二万步与左相消得□□□开平方得五十步为池方靣也身外加四又加入倍至步即为外田径也
　　依条段求之四之积步内减十二段至步幂为实十二之至步身外加四为从一步八分八厘为常法义曰三个九分六厘计二步八分八厘其四个圆田内有四个方水池除从步合占三个外犹剰一个水

　　池却于数内取了一步余一步八分八厘故以之为常法也其从步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能见方靣而但得方斜也
　　旧术曰四因积步为头位又倍去角步自乗三之减头位余折半为实又倍去角步三因加四为从法廉常置九分四厘
　　第十四问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云从田外楞通内池斜三十五步半问外圆内方各多少
　　答曰外圆径三十六步　内方靣二十五步
　　法曰立天元一为内方靣加四得【元□】为方斜以减倍通步得【太□】□为外圆径以自増乗得□□□为外田
　　径幂也以三之得□□□为四
　　段圆田积于头再立天元内方
　　靣以自之又就分四之得【元○】□
　　为四段方池以减头位得□□
　　□为四段如积寄左然后列四之见积一千三百八十八步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也方靣加四减于倍通步得圆径也
　　依条段求之十二段通步幂内减四之田积为实十二之通步加四为益从一步八分八厘常法

　　义曰此式元系虚从今以虚隅命之四段圆田减积时剰下四段方池于从步内用讫三个外犹剰一个却于二步八分八厘虚数内补了一歩外虚一步八分八厘故以之为法【从负隅正或从正隅负其实皆同故因此廉从以别之】旧术曰倍通步自乗三之为头位四因田积减头位余为实又十二通步加四为从法廉常置一步八分八厘减从开方【新旧廉从不同开时则同故两存之】
　　第十五问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内方周不及外圆周一百五十二步问外圆内方各多少
　　答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步
　　法曰立天元一为内方靣以四
　　之为内方周加不及一百五十
　　二步得□□为外圆周以自増
　　乗得□□□为十二段圆田积
　　于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□为十二段方池积以减头位余□□□为十二段如积寄左然后列见积八千○九十六步又就分十二之得九万七千一百五十二步与左相消得□□□平方开得五十二步为内池方靣也以四之为内方周加不及步为圆周也
　　依条段求之十二段积步内减不及步幂为实八之不及步为从四步为常法也
　　义曰十二段圆积该九段圆径
　　幂九段圆径幂便是九个圆周
　　幂也据十二段圆积内元少十
　　二个方池今于周幂内除折筭
　　外剰四个池积故以四步为常法也
　　旧术曰十二之积步为头位以不及步自乗减头位余八而一为实以不及步为从法廉常置半步开平方【新旧二术不同者旧术从简耳算术本贵简易而犹立新术者縁旧术难画条段也余仿此】第十六问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三千五百六十四步只云内方周与外圆径等问等数各若干答曰内方周外圆径各七十二步
　　法曰立天元一为等数便以为
　　方周以自之为十六个方池于
　　头【元○】丨再立天元等数便以为
　　圆径以自之又十二之得【元○】□
　　为十六段圆田积内减头位余【元○】□为十六段如积寄左然后列真积三千五百六十四步又就分十六之得五万七千○二十四步与左相消得□○□平方开得七十二步即等数也
　　按法后落条段一条依前例补之
　　依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法
　　义曰十六个圆积
　　乃十二段圆径幂
　　也其十六个圆积
　　内有十六个方池恰是一个方也此一个方便是等数幂也
　　旧术曰列田积从十一段平方开之得内方靣四之即等数也乂法以十六乗田积如十一而一所得开方即等数
　　第十七问
　　今有圆田一段内有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圆径不及内方周四十二步问方圆各若干
　　答曰外圆径五十四步　内方周九十六步
　　法曰立天元一为外圆径加不及四十二步得
　　为内方周以自増乗得下式□
　　□丨为十六段池积于头再立
　　天元外圆径以自之又十二之
　　得【元○】□为十六段田积也内减
　　头位余□□□为十六段如积寄左然后列真积一千六百一十一步就分母十六之得二万五千七百七十六步与左相消得□□□平方开得五十四步为外圆径也加不及步为内方周也
　　依条段求之置十六之积加不及步幂为实倍不及步为虚从一十一步为常
　　义曰十二个圆径
　　幂该十六个圆田
　　积十六个圆田积
　　内有十六个方池其十六个方池于实积内侵过所加一角并二段虚从之数也
　　第十八问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云外圆周内方周共得二百八步问内外周各多少
　　答曰外圆周一百八步　内方周一百步
　　法曰立天元一为内方靣以四
　　之为内方周减于相和二百八
　　步得□□为外圆周以自增乗
　　得□□□为圆周幂便为十二
　　段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得【元○】□为十二段方池积也以减头位余□□□为十二段如积寄左然后列见积三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也四之为内方周减于相和步为圆周也
　　依条段求之以十二之积步减和步幂为实八之和步为虚从四常法
　　义曰十二段圆田内有十二个
　　方池于方周幂内补了十二池
　　外犹欠四个故以四为隅法此
　　式元系虚从今却为虚隅命之
　　故以四为虚常法
　　旧术曰相和步自乗于头位以十二之积步减头位余八而一为实相和步为从法廉常置半步减从第十九问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内外周与实径共相和得六百二步问三事各多少