数学

　　论青气
　　问西人谓近地平有青气其髙约九里泽国弥厚弥髙日月在气内小可为大卑可为髙其説信然与曰信也凡彻体之物如气如水如玻璃水晶皆能变物之形逺可使近小可使大直可使曲深可使浅卑可使髙逺镜其显者也揷篙于水置钱于盂无不可验是以日月出地与将入地视径加大气映之故也不唯加大而已更能升之使髙实未出地而已出地也虽已入地而犹未入也故西人论日食于髙卑南北东西三差之外更有青气差青径差此为食言之也有此二差则旦暮日食以东西差加减之而当食者气或升之而不食矣其不当食者或升之而见食矣视径加大则能变食限与加时早晩食分多少矣此非台官所能预定必随方测而后可知前史有书当食不食不当食而食者其故或由此与梅先生未尝言及青气谓汤罗诸公已言之耳学者固不可不知○列子载两小儿辨日一谓日初出时如车盖日中如盘盂为近大而逺小此未知气之故耳日何尝有逺近若论逺近之微者则日近地平时与近天顶时差一地半径初出较逺日中较近正与此小儿之説反又非近者热逺者凉之谓也
　　论左旋右旋
　　问天左旋日月五星右转厯家之説也谓日月五星亦左旋其説始于横渠张子与曰非也张子云天左旋处其中者顺之少迟则反右矣张子之意谓地亦是动物处于天中随天而左旋但少迟故觉地右而天左观其前两章云日月五星逆天而行并包乎地者也地在气中虽顺天左旋其所繋辰象随之稍迟则反移徙而右又云古今谓天左旋此直至粗之论尔恒星所行为昼夜者直以地气乗机左旋于中云云则张子之意可知矣朱子谓横渠説天左旋日月亦左旋其説极是是以处其中者为日月恐非张子之本意曰然则朱子谓天行过一度又谓厯家截其退数便于算又有大轮在外小轮载日月在内之喻若何曰愚向亦疑之谓日月果因行少迟而觉其右转则当循赤道而退无南北斜行之势何为日自行黄道斜交于赤道月五星各有道又斜交于黄道乎何为恒星亦循黄道而右行乎后见勿庵先生説乃始豁然先生以钧盘飞轮为喻谓如有小盘小轮附于大盘大轮之上而别为之枢则必相差而成动移以生逆度又必与本枢相应而成斜转之象焉夫其退逆而右也因其两轮相叠其退转而斜行也因于各有本枢而其所以能退逆而斜转者则以其随大轮之行而生此动移也此説极当朱子两轮之喻未及不同枢必得此论始为精密尽善耳
　　左旋右旋之説愚前后有三见始也信朱子取正之説后因细读正觉张子之意不如是又见西人有随动自动之説谓七政自有性情力虽随天动却能自动而右旋深信之乃别为之説谓凡物之理有顺必有逆在天有气者皆左旋有形者皆右转一顺一逆所以能成造化若使皆顺而无逆则如水之无湾山之无转不能钟地脉而居人物矣古人有蚁行磨之喻然蚁虽随磨左旋而蚁之头足自向东而右行若使蚁亦向西则蚁之行不反速于磨乎后读梅先生书乃仍从左旋之説与始者所见却又不同此可验愚学识之进退消长而所得益于先生之书此尤其大者矣
　　然则后之所见与顺逆之説不相妨乎曰无妨也造化之理即以顺而成逆如五行皆顺生而自有逆克也如山水皆顺行而自有逆转也天以层数生迟速以迟速成顺逆正造化之妙也然则磨蚁之説若相妨奈何曰日月在天非若蚁之行磨也轮载日月轮动而日月随之日月未尝动也此如别有轮附于磨与磨同转而不同枢因生退度蚁则定于轮上未尝行也
　　大气之运如水逝风行恒星七政如有数舟同泛于江河得风多者行速得风少者行迟彼此相较迟者若退而上矣舟各斜迆不与岸平行【舟之斜迆犹行黄道岸犹赤道】斜迆又不同势则各舟捩柁定向不同也【如各曜自有道】
　　右粗譬之如此细论之舟犹非七曜也本天载本轮本轮载均轮均轮载日而月五星更有次轮星体在次轮上月体在次均轮上然则水犹本天舟犹本轮均轮次轮等犹舟上复有转轮而日与六曜犹有球附于舟之轮上也
　　论天极
　　问自古只言北极西士始言有黄极而月与五星之道皆斜出入于黄道则月道又自有极五星道又各有极然则七政七极并北极而八并南方相对之极而十六何若是其纷错与曰七政各行一道即各有所宗之极北极为心黄极环绕而成一圈月与五星之极皆以黄极为心各环之而成小圈水星圈最大月次之金次之土次之火次之木次之皆载于黄极圏之上各有条理未尝纷错也【小圏自内而外由近而逺木火土金水似顺五行相生之序月亦水类在金水之间】曰天之有北极也如磨之脐如轮之毂太阳曷不宗之乃自为极以成斜出之道与赤道度龃龉不相当何也曰太阳若宗北极则恒行赤道无寒暑进退何以能生万物有北极赤道又有黄极黄道所以能成变化也葢北极体也黄极用也北极为心黄极绕之而成圏则又未尝不宗北极也曰月与五星之道何为斜络黄道曰日君也月与五星臣也不敢正行黄道而又不敢与之逺离君臣之义也
　　问古人以恒星之天为天西士则谓恒星亦随黄道而东行夫恒星在七曜之上宗北极循赤道可矣何为亦宗黄极循黄道曰北极唯宗动天宗之恒星自为一重天则不得宗北极矣曰月五星各有道有极恒星天既自为一重宜亦自有其道与极何为皆宗黄极而循黄道【恒星距黄极有定距】曰六曜专而恒星散也六曜不惟自有道而已道之上且有数小轮以载曜体焉恒星不能逐星生小轮故普天星宿同宗黄极而循黄道也
　　论七政小轮
　　梅先生论小轮数章綦详因其言而推测之太阳小轮有二一为本轮一为均轮本轮之心在本天均轮之心在本轮而太阳之体实在均轮之上其大小则本轮半径三均轮半径一其行度则本轮之心右旋于本天而均轮之心左旋于本轮均轮虽左旋于本轮而太阳在均轮周实右旋均轮心左旋一度则均轮周左旋两度故最髙最卑两防虽常在本轮之顶与底而太阳之在最髙也不在均轮之顶而在均轮之底其在最卑也不在均轮之底而在均轮之顶葢不同心圏上所切之小轮非本轮也乃合本轮均轮两半径而为小轮之半径也又均轮实为太阳之体所居欲算太阳距地心得其径差景差必须以均轮行度算之葢本天载本轮本轮载均轮均轮载太阳此天上实象若并本轮均轮两半径以为不同心差规一大圏为不同心圏此则假借虚象耳【聨两半径边上虚迹而成圏】虽算加减均度与用本轮均轮立算者不殊【均轮上太阳所到与两半径并之小轮边上所切髙下不同而从地心出线穿太阳其角则同故所得之均度必无不同】而不可以此算视径之大小【太阳实体不在不同心圏上故也】观厯书太阳视半径表本以本轮均轮算得之若以不同心立算则其数不如此矣梅先生谓不同心之法生于小轮而小轮为本法此诚不易之论也太阴小轮递相负乗与太阳五星特异本天载本轮本轮载均轮犹之太阳而月之体不在均轮之上又五星次轮在均轮上者其心也若月次轮则以轮边与均轮相切而别有负圏合均轮全径次轮半径以为半径则负圏心在均轮上而次轮心在负圏上与五星异矣五星之体即在次轮之上而月则又有次均轮在次轮上月之实体则在次均轮上与五星又异矣细读厯象考成始知其故
　　回回厯七政皆有中心行度似本轮行于本天而梅先生云小轮心非能自动小轮之动本天之动也七政亦非自动七政之动小轮之动也又云小轮心者小轮之枢也枢连于本天不动故轮能动而七政者又相连于小轮之周者也小轮动则七政动矣此皆发前人所未发若小轮之动有左旋有右旋有不动其起防有在轮底有在轮顶其行度有平有倍有再倍又七政虽连于小轮之周而七政之体上下却有定位不随轮而颠倒愚于七政衍详言之七政各有本天本天上各有小轮小轮又互有同异视之若无测之实有纷纶交错条贯秩然虽有大巧莫能摹肖是大圜中之至巧
　　论日差
　　问厯书日躔有日差表月离又有日差表交食有加减时表月离之日差表与加减时同但加减倒用【加减用时为平时】若日躔日差其数絶异何也曰梅先生尝疑日躔表説支离混此事当究其源而论之凡云时者有二一为十二时之数太阳一日东升西没徧厯太虚常静之天均剖之为十二段所以纪出没永短节气朔望之节度者也一为十二时之位人所居之方必有正南正北之子午圏视太阳正当午位为午正其对冲为子正从此分十二宫者所以为测候七政之用者也此二者皆以赤道为宗平剖赤道一宫得三十度一时应之数与位其根本同所以有日差者一由太阳有平行视行而有均度之差一由赤道黄道正升斜升而又有升度之差是以厯家所算之时刻与太阳所到之方位略有不同所算者实时平时所到者视时用时也日躔日差表説亦明言日差之故有二一由太阳平视两行差一由两道正球升度差及其解説作表之法却不分明而所定各节气加减分数亦絶不可解【后详言之】宜勿庵先生讥之然月离交食二表只説黄赤升度差立算而不论太阳之加减差疑其法之未确先生始疑日差有二根当立二表后又自谓不确而别为之説谓西厯之传各有师授不同日躔表之兼用二根或是初説其平时定时乃测騐之实用必是后来之説宜只用月离交食二表为是愚向者亦未敢断其是非后考之厯象考成所以求用时者兼用均度升度二差而日躔日差表弃而不用则二根兼用者为是先生始谓当立二表者亦是而日躔之日差表立算未真解説支离洵不可承用也太阳平视两行差当从最卑最高起算至春分则积二度有竒减时当八分有竒而表以春分起算谓春分平视两行略等此时无加减分夫春分既无加减则秋分宜亦无加减表于秋分则加十六分时差十六分当天之四度此四度之差从何得之其不可解一也高卑加减之极在三宫九宫升度加减之极在四立节四立节之加减最大者不过九分五十六秒谓升度差最大者二度半稍弱也以此为限再以平视两行差加减之相去不甚逺表于立春减八分立夏加十一分立秋加三分立冬加二十四分何若是不均其不可解二也二根加减其数常均合之当亦必均表于初宫十九度后始有减分减至春分而极春分后则恒用加计一岁加减之数减者一而加者四其不可解三也合二根加减不过十八分有竒两大之限不同时又不能及此数而表之加分大者二十四分当天六度此数又从何得之其不可解四也升度差有定时而太阳髙卑有行度其两行之差不恒系于节气表乃合之为一若可恒用者然其不可解五也此表监中承用数十年近始遵用厯象考成岂久之始觉其未确乎
　　厯象考成求用时之法云以本日太阳均数变时得均数时差【本注云均数为加者时差为减均数减者时差为加】又以本日太阳黄赤经度相减余数变时得升度时差【注云二分后为加二至后为减】乃以两时差相加减为时差总【注云两时差同为加者则相并为总其号仍为加同为减者亦相并为总其号为减两时差一加一减者则相减为总加数大为加号减数大为减号】若算太阴平行则以时差总化秒与一小时太阴平行相乗为实以一小时化秒为法除之得数为秒以分收之得时差行以加减太阴平行【时差总为加者则减为减者则加】为用时太阴平行若算交食求实朔实望用时则以时差总加减实朔实望为实朔实望用时按此求时差之法甚分明观此可知日躔表之误而月离交食二表仅得其半于理亦未尽矣究之亦不必立两表惟以交食加减时表为主而以均度变时差加减之盖变时之法甚易一度变时之四分十五分变时之一分一分变时之四秒可约而知不必须表也【加减时表当正其名曰黄赤升度时差表】
　　黄赤升度之时差易见太阳均度之时差难知均度所以有时差者何也太阳在天终古平行厯家步算一切以平行为本一年之根起于冬至次日子正时此平时之平度也而有髙卑之轮太阳行其上则黄道上有视行加减之度而平行之度在本轮之心与人目所见太阳异处则时差生于此矣夫常静天之析为十二宫均剖者也一日之分为十二宫亦均剖者也以均剖者算行度则时刻之能应天者太阳本轮心所到之平度耳若本轮上有加减之度逐日所算太阳加时必与太阳所加之时位有微差【一度为时之四分】何也轮心与轮边所当不同也设平春分在丙寅日午正而定春分在甲子日午正相差约两度则甲子日欲测太阳正交赤道必于所算午正时减八分为午初三刻七分于正南之位偏东二度测之此时正当交防则所算甲子日午正初刻春分者真矣何也甲子日本为平行二宫二十八度之日距三宫初度有二度当未至午正二度之时而入交则本轮心岂不正当午位乎若再加时八分太阳正当午位则本轮心又移过午正西二度矣此均度所以有时差之理也论太阳右旋一昼夜行一度弱论太阳左旋一昼夜行三百六十度太阳既有加减差则右旋者差在日其极差二日有奇左旋者差在时其极差八分有奇本轮上九宫至三宫太阳行下半周右旋盈则左旋缩十二时行三百六十度而不足不足则时差当减矣三宫至九宫太阳行上半周右旋缩则左旋盈十二时行三百六十度而有余有余则时差当加矣然加时之始不于三宫而于六宫减时之始不于九宫而于初宫葢三九宫为缩与盈之极三宫至六宫盈其所缩九宫至初宫缩其所盈也总之轮心所到为平时太阳所到为视时故以本日均数变时而反其加减于理为尽【梅先生有日差原理一卷未刻愚以意推测如此】
　　唯四正日但有均度时差过此则兼有升度时差故当合两时差相并相减以为时差总其法至今日始定
　　论太阳倍离
　　天以太阳为尊能摄月与五星西史第谷谓如磁石之引鍼确喻也月五星离日有逺近而生次轮之行五星次轮一度即为一度独太阴离日一度次轮上即有两度五星合伏至合伏次轮一周太阴朔至望望至朔次轮再周回厯谓之倍离其故何与此由月次轮与五星不同故也五星次轮心在均轮上而月次轮心在负圏上次轮与均轮以边相切其相切之防即初均割线所到谓之次轮最近防最近者最近于均轮之心也定朔定望起于此防由此左旋至上而最逺至望复于起防又至下而最逺至朔再复于起防防在轮周则度亦起于轮周凡割圆之理从轮心出线论度者一度为一度从轮周出线论度者两度为一度此月所以倍离也试从次轮最近防出一直线分次轮为两半又从防出一横线与直线十字相交夹次轮半周于中间夫十字相交者直角也直角所夹之度必九十度而次轮则已半周岂不两度当一度乎