御制历象考成后编

　　比而子丑与子寅之比卯
　　辰与卯巳之比皆同于壬
　　乙与壬戊之比也奚以明
　　其然也盖撱圆之与平圆
　　处处皆有一小半径藏乎
　　其内试取壬戊之分于乙
　　心作圜则午乙未乙申乙
　　酉乙皆与壬戊等壬午卯
　　未子申丁酉皆与戊乙等
　　是推而抵于平圆之界各
　　有一小半径在也又自甲
　　丙二出线合于戊则小
　　径之端在戊而末在乙自
　　甲丙二出线合于丁则
　　小径之端在丁而末在酉
　　若自甲丙出二线合于寅
　　则小径必端在寅而末在
　　戌合于巳则小径必端在
　　巳而末在亥是引而归于
　　平圆之径又各有一小半
　　径在也夫寅戌巳亥既皆
　　为小径而申戌未亥又与
　　子丑卯辰为平行则寅戌
　　与子申巳亥与卯未亦必
　　为平行而申戌与子寅未
　　亥与卯巳必各相等故乙
　　子丑与戌寅丑及乙申戌
　　为同式形乙卯辰与亥巳
　　辰及乙未亥亦为同式形
　　而子丑与寅丑之比同于
　　子乙【即壬乙】与寅戌【即戊乙】之
　　比卯辰与巳辰之比同于
　　卯乙【即壬乙】与巳亥【即戊乙】之
　　比又子丑与申戌【即子寅】之
　　比同于子乙【即壬乙】与申乙
　　【即壬戊】之比卯辰与未亥【即卯
　　巳】之比同于卯乙【即壬乙】与
　　未乙【即壬戊】之比是平圆与
　　撱圆正之比例同于大
　　径与小径之比例也以角
　　度之比例言之设卯乙辰
　　角为平圆六十度【即丁卯弧】求
　　撱圆之巳乙辰角试以乙
　　辰为半径作弧则卯辰为
　　卯乙辰角之正切巳辰为
　　巳乙辰角之正切夫卯辰
　　与巳辰之比既同于壬乙
　　与戊乙之比则卯乙辰角
　　之正切与巳乙辰角正切
　　之比亦必同于壬乙与戊
　　乙之比故以壬乙一千万
　　为一率戊乙九九九八五
　　七一【小余八五】为二率卯乙辰
　　角六十度之正切一七三
　　二○五○八为三率求得
　　四率一七三一八○三四
　　为巳乙辰角之正切检表
　　得五十九度五十九分四
　　十七秒即巳乙辰角而卯
　　乙巳角一十三秒为撱圆
　　差角【卯乙辰角内减巳乙辰角余即卯乙巳角】又设巳甲辰角六十度五
　　十分三十二秒求卯甲辰
　　角试以甲辰为半径作弧
　　则巳辰为巳甲辰角之正
　　切卯辰为卯甲辰角之正
　　切夫卯辰与巳辰之比既
　　同于壬乙与戊乙之比则
　　巳辰与卯辰之比必同于
　　戊乙与壬乙之比而巳甲
　　辰角之正切与卯甲辰角
　　正切之比亦必同于戊乙
　　与壬乙之比故以戊乙九
　　九九八五七一【小余八五】为一
　　率壬乙一千万为二率巳
　　甲辰角之正切一七九二
　　三八九七为三率求得四
　　率一七九二六四五七为
　　卯甲辰角之正切检表得
　　六十度五十分四十五秒
　　即卯甲辰角而卯甲巳角
　　一十三秒为撱圆差角是
　　平圆与撱圆角度之比例
　　亦同于大径与小径之比
　　例也再以面积之比例言
　　之凡平圆面积与撱圆面
　　积之比例同于平圆外切
　　正方面积与撱圆外切长
　　方面积之比例亦即同于
　　撱圆大径与小径之比例
　　【撱圆大径即平圆径见几何原本八卷第十二节】如求撱圆六十度之面积
　　则先设丁卯弧六十度求
　　乙卯丁六十度之平圆面
　　积以比之法以半周率三
　　一四一五九二六五【定率圆径
　　一千万则圆周为三一四一五九二六五今一千万
　　为半径故周率为半周】用三分之得
　　一○四七一九七五五为
　　卯丁弧线【因卯丁弧六十度为半周三分
　　之一故三分半周率而得卯丁弧线若有竒零则须
　　用比例法】与乙卯半径一千万
　　相乗折半得五二三五九
　　八七七五○○○○○即
　　乙卯丁分平圆六十度之
　　面积而为丁壬己癸平圆
　　全积六分之一又以壬乙
　　大半径一千万为一率戊
　　乙小半径九九九八五七
　　一【小余八五】为二率乙卯丁积
　　为三率求得四率五二三
　　五二三九九七二四○九
　　五即乙己丁分撱圆六十
　　度之面积而为丁戊己庚
　　撱圆全积六分之一也【此所
　　得六十度积较之全积六分之一尾数稍大因小径
　　之小余为八四八进为八五之故然于圆度只差纎
　　忽可不计也】盖将平圆撱圆二
　　面积依壬癸横径缕析之
　　则皆成线矣其线与线之
　　比既同于大径与小径之
　　比则面与面之比亦同于
　　大径与小径之比故分之
　　丁卯辰弧矢积与丁巳辰
　　弧矢积之比卯辰乙勾股
　　积与巳辰乙勾股积之比
　　皆同于大径与小径之比
　　而合之乙卯丁分平圆面
　　积与乙巳丁分撱圆面积
　　之比亦必同于大径与小
　　径之比也既得撱圆与平
　　圆之各比例则面线角度
　　皆可得而求至于撱圆正
　　以平圆命度而角度不
　　同分撱圆面积与全积相
　　当而角不相应则撱圆差
　　之所生而与平圆之所以
　　别也

　　求撱圆大小径之中率
　　凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若撱圆有大小径角与积巳不相应矣【见前篇】况实行之角平行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒亦可按积而稽也
　　如图甲为地心乙为本天
　　心乙甲为两心差丙甲为
　　倍差丁戊己庚撱圆为本
　　天乙丁为大半径一千万
　　乙戊为小半径九九九八
　　五七一【小余八四八○一九一】试以
　　乙丁大半径作丁辛己壬
　　平圆则平圆与撱圆二面
　　积之比例同于平圆外切
　　癸子丑寅正方积与撱圆
　　外切卯辰巳午长方积之
　　比例又试以乙丁大半径
　　为首率乙戊小半径为末
　　率求得乙申中率九九九
　　九二八五【小余八九】作平圆则
　　大半径所作丁辛己壬平
　　圆与中率所作申酉戌亥
　　平圆二面积之比例亦同
　　于大径平圆外切癸子丑
　　寅正方积与中率平圆外
　　切干坎艮震正方积之比
　　例此二比例既同而干坎
　　艮震正方积原与卯辰巳
　　午长方积等【首率末率相乘与中率自
　　乗等】则申酉戌亥平圆积亦
　　必与丁戊己庚撱圆积相
　　等矣乃以己丁大径二千
　　万与戊庚小径一九九九
　　七一四三【小余六九六○三八二】相
　　乗得卯辰巳午长方积与
　　干坎艮震正方积等以方
　　与圆之比例定率七八五
　　三九八一六二五通之得
　　三一四一一四三九八二
　　八二三三七为申酉戌亥
　　平圆面积与丁戊己庚撱
　　圆面积等将申酉戌亥平
　　圆面积以三百六十度除
　　之得八七二五三九九九
　　五二二九为一度之面积
　　其形为分平圆面其两腰
　　皆为中率半径与乙申等
　　其弧其角皆为一度若将
　　丁戊己庚撱圆面积自甲
　　心亦平分为三百六十分
　　则其形为分撱圆面其两
　　腰自甲丁极短以渐而长
　　逐度俱不等其弧其角亦
　　不等然其每分之面积则
　　皆与一度之面积等故凡
　　分一段撱圆面积以一度
　　之面积为法而一则面积
　　即可以度分命之然后以
　　面积之度与角度相较而
　　平行实行之差出焉如以
　　甲为心以中率为半径作
　　平圆则甲巽丁分撱圆面
　　积为太阳距最卑后之平
　　行度与甲离申分平圆面
　　积等亦即与离甲申角等
　　巽甲离角为平行实行之
　　差其实行在平行前甲坤
　　己分撱圆面积为太阳距
　　最髙后之平行度与甲兑
　　戌分平圆面积等亦即与
　　兑甲戌角等兑甲坤角为
　　平行实行之差其实行在
　　平行后也

　　撱圆角度与面积相求
　　前篇言以面积之度与角度相较而平行实行之差以出盖太阳距最卑后平行之度必与太阳距地心线所分之撱圆面积等故可以平行度为面积而求实行也然实行固角度也以实测言之则先得实行后求平行以角而求积也易以推歩言之则先设平行后求实行以积而求角也难故先设以角求积之法可以知数理之实次设以积求角之法可以知比例之术次设借积求积借角求角之法可以知巧合补凑之方反覆参稽而数之离合乃纤悉毕呈焉图説详着于左
　　先设以角求积法如图甲
　　为地心乙为本天心甲乙
　　为两心差丙甲为倍差丁
　　戊己庚为本天丁为最卑
　　己为最髙设太阳在辛辛
　　甲丁角为实行距最卑后
　　六十度求甲辛丁分撱圆
　　面积平行若干度分先将
　　甲辛线引长至壬作丙壬
　　垂线成甲丙壬辛丙壬两
　　勾股形乃以半径一千万
　　为一率甲角六十度之正
　　八六六○二五四为二
　　率【丙甲壬角与辛甲丁角为对角其度相等】丙
　　甲倍两心差三三八○○
　　○为三率求得四率二九
　　二七一六【小余五九】为丙壬边
　　又以半径一千万为一率
　　甲角六十度之余五○
　　○○○○○为二率丙甲
　　边为三率求得四率一六
　　九○○○为甲壬边次以
　　丙壬为勾自乗以甲壬与
　　甲辛丙辛两边和二千万
　　相加得二○一六九○○
　　○为股和除之得四二
　　四八【小余二五】为股较与股
　　和相加折半得一○○
　　八六六二四【小余一三】为丙辛
　　边与二千万相减余九九
　　一三三七五【小余八七】为甲辛
　　边即太阳距地心线次以
　　半径一千万为一率甲角
　　六十度之正八六六○
　　二五四为二率甲辛边为
　　三率求得四率八五八五
　　二三五【小余三○】即辛癸边次
　　以撱圆小径九九九八五
　　七一【小余八五】为一率大径一
　　千万为二率辛癸边为三
　　率求得四率八五八六四
　　六一【小余五八】即子癸边检正
　　得五十九度九分五十
　　三秒【小余六九】即乙角度亦即
　　子丁弧度次以半周天一
　　百八十度化作六十四万
　　八千秒为一率半圆周定
　　率三一四一五九二六【小余
　　五】为二率乙角度分化作
　　二十一万二千九百九十
　　三秒【小余六九】为三率求得四
　　率一○三二六二二五【小余
　　四七八四○○九】为子丁弧线与
　　乙丁半径一千万相乗折
　　半得五一六三一一二七
　　三九二○○五为乙子丁
　　分平圆面积次以撱圆大
　　径一千万为一率小径九
　　九九八五七一【小余八五】为二
　　率乙子丁积为三率求得
　　四率五一六二三七五三
　　六九二五四六为乙辛丁
　　分撱圆面积次以乙甲一
　　六九○○○与辛癸八五
　　八五二三五【小余三○】相乗折
　　半得七二五四五二八八
　　二八五○为辛乙甲三角
　　积【辛乙甲三角积以乙甲为底辛癸为髙故与同
　　底同髙折半之积等】与乙辛丁积相
　　减余五○八九八三○○
　　八○九六九六即甲辛丁
　　分撱圆面积以一度之面
　　积定率八七二五三九九
　　九五二二九除之得五十
　　八度三三三四【小余八七】收作
　　五十八度二十分○秒三
　　十三微即实行距最卑后
　　六十度时之平行度也
　　又法求甲辛太阳距地心
　　线将甲辛线引长至壬使辛
　　壬与丙辛等又自丙至壬作
　　丙壬线成甲丙壬三角形此
　　形知丙甲倍两心差三三八
　　○○○知甲壬二千万知甲
　　外角六【甲辛丙辛共二千万辛壬既与丙辛
　　等故甲壬亦二千万】十度用切线分
　　外角法求得壬角四十九分
　　五十三秒又求得丙壬边二
　　【小余三六】○一七一○八○次
　　将丙壬边折半【小余二九】于癸
　　作辛癸垂线成壬癸辛直角
　　形以半径一千万为一率壬
　　角正割线一○○○一○五
　　三为二率癸壬边一○○八
　　五【小余三五】五四○为三率求
　　得四率一○○甲辛【小余一四五】丙辛共二千万辛壬既与丙
　　八六六○二【小余六一】为辛壬
　　边与甲壬二千万相减余
　　九九一三三九七【小余三九】即
　　甲辛太阳距地心线也此
　　法所得甲辛线较前法多
　　二十二盖因壬角甚小比
　　例易差耳然其角度自不
　　爽故后借角求角之法则
　　用之且以甲为心以二千
　　万为半径作圜【如甲壬】又取
　　两心差之倍度截直径于
　　丙自丙出线至圜周【如丙壬】折半作垂线【如癸辛】所抵圜
　　径之即撱圆界【如辛】依
　　法逐度作连之即成撱
　　圆周以此发明撱圆之理
　　最为精巧故附于此
　　又设太阳在壬壬甲己角
　　为实行距最髙后六十度
　　求甲壬己分撱圆面积平
　　行若干度分则以半径一
　　千万为一率甲角六十度
　　之正八六六○二五四
　　为二率丙甲三三八○○
　　○为三率求得四率二九
　　二七一六【小余五九】为丙癸垂
　　线又以半径一千万为一
　　率甲角六十度之余五
　　○○○○○○为二率丙
　　甲边为三率求得四率一
　　六九○○○为甲癸分边
　　次以丙癸为勾自乘以甲
　　癸与甲壬丙壬两边和二
　　千万相减余一九八三一
　　○○○为股和除之得
　　四三二○【小余六六】为股较
　　与股和相加折半得九