御制历象考成后编

　　四十分一十五秒利实尔测得火星距恒星下四十
　　分又逐日细测恒星距天顶噶西尼测得为五十九
　　度利实尔测得为一十五度七分五秒各与所测火
　　星距恒星之数相加即各得火星距天顶之度】以
　　之立法甲为地心乙为富
　　郎济亚国地面丙为天顶
　　丁为噶耶那岛地面戊为
　　天顶己为火星丙戊己庚
　　为子午线【如两地面不同在一子午线则
　　须按东西里差求其同一子午线之髙度见上编日
　　躔厯理】己乙丙角为乙处火
　　星视距天顶五十九度四
　　十分一十五秒己丁戊角
　　为丁处火星视距天顶一
　　十五度四十七分五秒【地面
　　为视距地心为实距】辛为恒星辛甲
　　丙角为乙处恒星距天顶
　　之度辛甲戊角为丁处恒
　　星距天顶之度因恒星距
　　地甚逺地面所视与地心
　　无异故无地半径差假若
　　火星亦无地半径差则乙
　　处火星实距天顶当为己
　　甲丙角丁处火星实距天
　　顶当为己甲戊角而火星
　　与恒星之相距即同为己
　　甲辛角无髙低之异乃乙
　　处所测火星距天顶为己
　　乙丙角较之实距天顶之
　　己甲丙角低一乙己甲角
　　是即乙处之地半径差也
　　丁处所测火星距天顶为
　　己丁戊角较之实距天顶
　　之己甲戊角低一丁己甲
　　角是即丁处之地半径差
　　也夫火星之距恒星一也
　　因乙处所测火星距天顶
　　逺故乙己甲差角大丁处
　　所测火星距天顶近故丁
　　己甲差角小则乙处所测
　　火星距恒星较丁处一
　　十五秒即两差角相减所
　　余之丁己乙角乃两处地
　　半径差之较也既得地半
　　径差较丁己乙角而欲求
　　地平上最大差甲壬乙角
　　则以两处所测火星距天
　　顶之正相减与地半径
　　差较秒数之比即同于半
　　径一千万与地平上最大
　　差秒数之比盖将己乙线
　　引长至癸自甲作甲癸垂
　　线成甲癸乙直角形癸为
　　直角乙角与己乙丙为对
　　角即乙处火星距天顶之
　　度甲癸为地半径差乙己
　　甲角之正【甲己为半径故】甲乙
　　为地半径即最大差甲壬
　　乙角之正【甲壬为半径故】其法
　　为乙角正与甲癸之比
　　同于癸直角正一千万
　　与甲乙之比检表而得壬
　　角也又将己丁线引长至
　　子自甲作甲子垂线成甲
　　子丁直角形子为直角丁
　　角与己丁戊为对角即丁
　　处火星距天顶之度甲子
　　为地半径差丁己甲角之
　　正甲丁与甲乙等亦为
　　最大差甲壬乙角之正
　　其法为丁角正与甲子
　　之比同于子直角正一
　　千万与甲丁之比亦检表
　　而得壬角也夫两视距天
　　顶之正与两地半径差
　　正之比既皆同于一千
　　万与最大差正之比则
　　两视距天顶正相减之
　　较与两地半径差正相
　　减之较之比亦必同于一
　　千万与最大差正之比
　　又地半径差角甚小其两
　　正之较与两角度之较
　　可以相为比例则两视距
　　天顶正相减之较与两
　　地半径差相减所余秒数
　　之比亦必同于一千万与
　　最大差秒数之比矣故以
　　己乙丙角五十九度四十
　　分一十五秒之正八六
　　三一三八六与己丁戊角
　　一十五度四十七分五秒
　　之正二七二○二三六
　　相减余五九一一一五○
　　为一率乙己丁角一十五
　　秒为二率一千万为三率
　　求得四率二十五秒【小余三七】即甲壬乙角为火星在地
　　平上最大之地半径差也
　　既得火星地半径差甲壬
　　乙角而欲求太阳地半径
　　差甲丑乙角据歌白尼第
　　谷测得火星距地甲壬与
　　太阳距地甲丑之比如一
　　百与二百六十六其法当
　　先用甲乙壬形以乙角正
　　为一率甲壬为二率壬
　　角正为三率甲乙为四
　　率此第一比例也次用甲
　　乙丑形以甲丑为一率乙
　　角正为二率甲乙为三
　　率丑角正为四率此第
　　二比例也然第二比例之
　　二率三率即第一比例之
　　一率四率而一率四率相
　　乗原与二率三率相乗之
　　数等故即以甲丑二六六
　　为一率甲壬一○○为二
　　率壬角二十五秒【小余三七】为
　　三率求得四率九秒【小余五三】进为一十秒为丑角度【因壬
　　丑二角甚小正与角度可以相为比例故壬角用
　　秒丑角亦得秒】即太阳在地平上
　　最大之地半径差也
　　又按上编日躔求地半径
　　差法以两处恒星距天顶
　　相减余四十三度五十二
　　分五十五秒为戊丙弧即
　　戊甲丙角先用乙甲丁三
　　角形甲乙甲丁二边俱命
　　为一千万以甲角折半之
　　正倍之得七四七三○
　　二三为乙丁边又以甲角
　　与半周相减余数半之得
　　六十八度三分三十二秒
　　三十微为乙角亦即丁角
　　次用乙己丁三角形此形
　　有乙丁边有己乙丁角五
　　十二度一十六分一十二
　　秒三十微【半周内减去甲乙丁角又减去
　　己乙丙角余即己乙丁角】有己丁乙角
　　一百二十七度四十三分
　　三十二秒三十微【半周内减去甲
　　丁乙角加己丁戊角即己丁乙角】有乙己
　　丁角一十五秒【乙丁二角相并与半
　　周相减余即己角与前地半径差较合】求得
　　己丁边八一二七五一二
　　五一五四【小余二九】次用己丁
　　甲三角形此形有甲丁边
　　有丁己边有丁外角一十
　　五度四十七分五秒【即丁处火
　　星距天顶】将己丁线引长至子
　　成甲子丁直角形丁角正
　　二七二○二三六【小余五】即甲子边丁角余九六
　　二二九○六即丁子边以
　　丁子与己丁相加得己子
　　八一二八四七四八○六
　　○【小余二九】为股甲子为勾求
　　得八一二八四七四八
　　一一二为甲己边与甲壬
　　等即火星距地心数以地
　　半径较之其比例为一与
　　八千一百二十八又以甲
　　壬为一率甲乙为二率一
　　千万为三率求得四率一
　　二三○【小余二四】为壬角之正
　　检表得二十五秒【小余三七】为火星在地平上最大差
　　与前法所得数同【上编求日纒地
　　半径差亦可用前法算但两处所测太阳一在天顶
　　南一在天顶北其差角为地半径差总当以两距天
　　顶之正相加与地半径差总秒数之比同于一千
　　万与地平上最大差秒数之比耳】

　　用撱圆面积为平行
　　太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最髙前后则失之小最卑前后则失之大又最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而后髙卑之数盈缩之行与当时实测相合上编言之详矣然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分新法算书第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最髙前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则髙卑之理既与旧説无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与今测相符具详图説如左
　　如图甲为地心乙丙丁戊
　　为黄道己为不同心天之
　　心庚辛壬癸为不同心天
　　乙庚为本轮半径与甲己
　　两心差等以本轮之法论
　　之最卑时本轮心在乙太
　　阳在庚中距时本轮心在
　　丙太阳在辛乙丙为平行
　　九十度辛甲丙角为平行
　　实行之最大差以不同心
　　天之法论之太阳自最卑
　　庚行至辛亦九十度己辛
　　甲角为平行实行之最大
　　差与辛甲丙角等故本轮
　　之法与不同心天之法相
　　同以均轮之法论之最卑
　　时本轮心在乙均轮心在
　　子太阳在丑中距时本轮
　　心在丙均轮心在卯太阳
　　在辛最髙时本轮心在丁
　　均轮心在辰太阳在巳辛
　　甲丙角最大差仍当甲己
　　之全而丑乙之卑于本天
　　半径巳丁之髙于本天半
　　径者止及甲己之半与甲
　　寅等故以推盈缩差惟中
　　距与本轮同最髙半周比
　　之本轮则大【距地近故角大】最卑
　　半周比之本轮则小【距地逺故
　　角小】此其所以消息乎本轮
　　之行度者当时必有所据
　　而自刻白尔以来则谓髙
　　卑之数均轮所定诚是但
　　其数渐减耳至以推盈缩
　　差则均轮之所消息者又
　　属太过惟以寅为不同心
　　天之心作撱圆形自地心
　　甲分之计太阳在撱圆
　　周右旋其所行之分撱圆
　　面积日日皆相等而用以
　　推黄道实行之盈缩则在
　　本轮均轮所得数之间而
　　与实测脗合试以寅为心
　　与己丑作十字线又取寅
　　丑之度从甲截横线于午
　　使午甲午己皆与寅丑半
　　径等乃以甲己两各为
　　心午为界各用一针钉之
　　围以丝线末以铅笔代午
　　针引而旋转即成丑午己
　　未撱圆形寅丑寅己为撱
　　圆大半径寅午寅未为撱
　　圆小半径则撱圆不以甲
　　己为心而以寅为心丑乙
　　之卑于黄道巳丁之髙于
　　黄道者止及甲己之半与
　　寅甲等是髙卑之理与均
　　轮合矣又将撱圆面积以
　　甲为心均分为三百六十
　　分每分之积皆为一度每
　　一度积为六十分太阳每
　　日右旋当每一度积之五
　　十九分有竒是为平行在
　　最卑半周甲心至撱圆界
　　之线短则角度必寛是为
　　行盈在最髙半周甲心至
　　撱圆界之线长则角度必
　　狭是为行缩故太阳循撱
　　圆周行惟所当之面积相
　　等而角不等其角度与积
　　度之较即平行实行之差
　　中距平行至申甲申丑积
　　为撱圆四分之一为平行
　　九十度与寅午丑积等【申午
　　酉积微大于酉寅甲积然所差无多故为相等】亦
　　与申己甲角等而自地心
　　甲计之己当黄道之戌戌
　　甲丑角为实行己申甲角
　　为平行实行之差是中距
　　之盈缩差与本轮均轮皆
　　合矣用是以推逐度之盈
　　缩差在最髙半周比之本
　　轮固大比之均轮又微小
　　最卑半周比之本轮固小
　　比之均轮又微大验诸实
　　测庶为近之推算之法具
　　详后篇

　　求两心差及撱圆与平圆之比例
　　新法算书日躔中距之盈缩差为二度零三分零九秒四十微检其正切得两心差为三五八四一六上编仍之今测中距之盈缩差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒检其正得一六九○○○为两心差倍之得三三八○○○比旧数少千分之二有竒乃以两心差一六九○○○为勾平圆半径一千万为求得股九九九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆之小半径而凡撱圆之正角度面积与平圆之比例皆同于撱圆之小半径与平圆半径之比例焉
　　如图甲为地心乙为本天
　　心甲乙为两心差甲丙为
　　倍差丁戊己庚撱圆为本
　　天乙丁为大半径一午万
　　乙戊为小半径丙戊甲戊
　　皆与乙丁等太阳行至戊
　　甲戊丁分撱圆面积八十
　　九度一分五十四秒为平
　　行其小于九十度之五十
　　八分六秒即甲乙戊勾股
　　积【乙戊丁积为撱圆四分之一必九十度故甲戊
　　丁积小于九十度之积即甲乙戊勾股积】亦即
　　乙戊甲角【甲乙戊勾股积甲戊边即大径
　　乙戊边即小径其积介乎大小径之间与分平圆面
　　相似故积度即角度若近甲丁则边短而角大近甲
　　己则边长而角小详后篇】戊甲丁角九
　　十度五十八分零六秒为
　　实行其大于九十度者亦
　　五十八分六秒即戊甲辛
　　角与乙戊甲角等亦与丙
　　戊乙角等平行实行之差
　　一度五十六分一十二秒
　　即甲戊丙角折半得五十
　　八分零六秒即乙戊甲角
　　甲戊既为一千万则甲乙
　　即乙戊甲角之正故检
　　表得一六九○○○即甲
　　乙两心差以甲乙为勾甲
　　戊为求得乙戊股九九
　　九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆小半径也既得撱
　　圆小径则凡撱圆之面线
　　及角度皆可以得其比例
　　以正之比例言之试以
　　乙为心乙丁为半径作丁
　　壬己癸平圆则撱圆乙丁
　　大半径与平圆乙壬半径
　　相等戊乙小半径之小于
　　平圆半径者即壬戊撱圆
　　差若逐度割之则撱圆之
　　余必与平圆之余相
　　等而撱圆之正必小于
　　平圆之正然平圆正
　　与撱圆正之比例必同
　　于平圆半径与撱圆小半
　　径之比例也如丁为初
　　度无正丁乙为初度之
　　余平圆与撱圆等丁壬
　　弧为九十度无余壬乙
　　为平圆九十度之正即
　　大半径戊乙为撱圆九十
　　度之正即小半径壬戊
　　即九十度之撱圆差丁子
　　弧为三十度丑乙为三十
　　度之余平圆与撱圆等
　　子丑为平圆三十度之正
　　寅丑为撱圆三十度之
　　正子寅为三十度之撱
　　圆差丁卯弧为六十度辰
　　乙为六十度之余平圆
　　与撱圆等卯辰为平圆六
　　十度之正巳辰为撱圆
　　六十度之正卯巳为六
　　十度之撱圆差则子丑与
　　寅丑之比卯辰与巳辰之
　　比皆同于壬乙与戊乙之