圜容较义

　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　圜容较义　　　　　　天文算法类一【推步之属】提要
　　【臣】等谨案圜容较义一卷明李之藻撰亦利玛窦之所授也前有万厯甲寅之藻自序称凡厥有形惟圜为大有形所受惟圜至多浑圜之体难名而平面之形易析试取同周一形以相叅考等边之形必距于不等边形多边之形必距于少边之形最多边者圜也最等边者亦圜也析之则分杪不亿是知多边聨之则圭角全无是知等边不多边等边则必不成圆惟多边等边故圜容最钜昔从邢公研穷天体因论圜容拈出一义次为五界十八题借平面以推立圜设角形以徴浑体云云盖形有全体视为一面从其一面例其全体故曰借平面以测立圜面必有界界为线为边两线相支必有角析圜形则各为角合角形则共成圜故曰设角以徴浑体其书虽明圜容之义而各面各体比例之义胥于是见且次第相生于周髀圆出于方方出于矩之义亦多足发明焉乾隆四十六年十二月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官【臣】陆　费　墀

　　圜容较义序
　　自造物主以大圜天包小圜地而万形万象错落其中亲上亲下肖呈圜体大则日躔月离轨度所以循环细则防雪花润泽旉于涓滴人文则有旋中规而坐抱鼓况颅骨目瞳耳窍之浑成物宜则有谷孕实而核含仁暨鸢翔鱼泳虵蟠之咸若胎生卵育混沌合其最初葩发苞藏团栾于焉保合俯视沤浮水面仰观晕合天心风滃乎苹端湛露擎于荷葢砂倾活永任分合以成颗鲛泣明珠撒柈杆而竞走无情者飞蓬转石斡运总属天机有情若鼄网虫窠经营自凭意匠若乃灵心濬发尤多规运成能壁水明堂居中而宣政敎六花八阵周衞而运正奇乐部在悬箫鼓共圜钟迭奏轺车欲驾轮辕贯枢轴其旋戏塲有蹴鞠弹棊雅事对莆团莲漏忽然一啑成如珠如雾之谈奇谩説恒沙满三千大千之国土至于火炎鋭上试逺瞩而一防圆光水积纡回指寥天而两缝规合葢天籁地籁人籁声声触窍皆圜如象官象事象物粒粒浮空有烂所以龟畴蓍防用九之妙无穷羲画文重围圜之图不改草翁之三数安乐窝之一丸先天后天此物此志云尔凡厥有形惟圜为大有形所受惟圜最多夫浑圜之体难明而平面之形易晰试取同周一形以相参考等边之形必钜于不等边形多边之形必钜于少边之形最多边者圜也最等边者亦圜也析之则分秒不亿是知多边聨之则圭角全无是知等边不多边等边则必不成圜惟多边等边故圜容最钜若论立圜浑成一面则夫至圜何有周边周边尚莫能窥容积奚复可量所以造物主之化成天地也令全覆全载则不得不从其圜而万物之赋形天地也其成大成小亦莫不铸形于圜即细物可推大物即物物可推不物之物天圜地圜自然必然何复疑乎第儒者不究其所以然而异学顾恣诞于必不然则有设两小儿之争以为车葢近而盘盂逺沧凉逺而探汤近者不知二曜附丽于乾元将旦午之近逺畴异气行周绕于地域其厚薄以斜直殊观初暎气故晖散影巨而炎旭应防亭午笼虚则障薄光澄而曝射当烈又有造四大洲之诳以为日月绕须弥为昼夜地形较纵广于由旬者试问须弥何物凌日与月而亏天且纵广奚稽乃狭与弯之变相积由旬至亿千万则地径有度金轮岂厚载所容统忉利谓三十三则象纬正圜诸天之棊絫可怪且夫极辨者方圜之体若白黒一二之难欺最精者方圜之度当防渺毫茫之必析冲虚撰模棱而侮圣释氏骋荒忽以诬民彼曽不识圜形恶足与窥乾象夫寰穹邈矣岂排空驭气可以纵观乃道理跃如若指掌按图无难坐得昔从利公研穷天体因论圜容拈出一义次为五界十八题借平面以推立圜设角形以征浑体探原循委辨解九连之环举一该三光映万川之月测圜者测此者也割圜者割此者也无当于厯厯稽度数之容无当于律律穷絫黍之容存是论也庸谓迂乎译旬日而成编名曰圜容较义杀青杀竟被命守澶时戊申十一月也柱史毕公梓之京邸近反人汪孟朴氏因校算指重付剞劂以公同志匪徒广略异闻实亦阐着实理其于表里祘术推演防何合而观之抑亦解诗之颐者也

　　圜容较义序
　　钦定四库全书
　　圜容较义
　　明　李之藻　撰
　　万形有全体目视惟一面即面可以推全体也面从界显界从线结总曰边线边线之最少者为三边形多者四边五边乃至千万亿边不可数尽也三边形等度者其容积固大于三边形不等度者四边以上亦然而四边形容积恒大于三边形多边形容积恒大于少边形恒以周线相等者验之边之多者莫如浑圜之体浑圜者多边等边试以周天度剖之则三百六十邉等也又剖度为分则二万一千六百边等也乃至秒忽毫厘不可胜算凡形愈多边则愈大故造物者天也象天者圜也圜故无不容无不容所以为天试论其槩
　　凡两形外周等则多边形容积恒大于少边形容积假如有甲乙丙三角形其边最少就底线乙丙两平分于丁作甲丁线其甲乙甲丙两腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等则甲丁线为乙丙之垂线【几何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊与丁丙平行戊丙与甲丁平行视前形增一角者【一卷四又三十六】既甲
　　丁丙甲丁乙两形等而甲丙戊与甲丁乙亦等【一卷三十四】则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等矣以周论之其甲戊戊丙丙丁甲丁四边皆与乙丁相等甲丙边为其线稍长试引丙戊至已引丁甲至庚皆与甲丙甲丁线等而作庚丁己丙形与甲乙丙三角形同周则赢一甲庚己戊形故知四边形与三边形等周者四边形容积必大于三边形
　　凡同周四直角形其等边者所容大于不等边者假有直角形等边者每边六共二十四其中积三十六另有直角形不等边者两边数十两边数二其周亦二十四与前形等周而其边不等故中积只二十又设直角形其两边各九其两边各三亦与前形同周而中积二十七又设一形两边各八两边各四亦与前同周而中积三十二或设以两边为七以两边为五亦与前同周而中积三十五是知边度渐相等则容积固渐多也
　　试作直角长方形令中积三十六
　　同前形之积然周得三十与前周
　　二十四者逈异令以此周作四边等形则中积必大于前形
　　凡同周四角形其等边等角者所容大于不等边等角者设甲乙丙丁不等角形从丙丁各作垂线又设引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】与不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁
　　及甲丙线则赢于己丁戊丙线是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周试引丁己至辛与乙丁等引丙戊至庚与甲丙等而作庚丙辛丁形则多一庚戊辛己形因显四等角形大于不等角形
　　以上四则见方形大于长形而多边形更大于少边形则圜形更大于多边形此其大略若详论之则另立五界说及诸形十八论于左
　　第一界等周形　谓两形之周大小等
　　第二界有法形　谓不拘三边四边及多边但边边相
　　等角角相等即为有法其欹邪不就
　　规矩者为无法形
　　第三界求各形心　但从心作圜或形内切圜或形外切
　　圜皆相等者即系圜与形同心
　　第四界求形面　　谓周线内所容人目所见乃形之一
　　面
　　第五界求形体　　如立方立圜三乘四乘诸形乃形之
　　全体
　　第一题
　　凡诸三角形从底线中分作垂线与顶齐高以中分线及高线作矩内直角方形必与三角形所容等
　　解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂线至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角题言直角与三角形等
　　先论曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁线次从甲作戊己线与乙丙平行又作己丙戊乙二线成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形【一卷四十一】故甲乙丙三角形与甲丁丙己形等【一卷三十六】
　　次论曰作甲丁垂线而第二图丁非甲乙之平分第三图甲在方形之外皆从甲作戊己线引长之与乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂线视甲丁为平行亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大
　　于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己长方形分三角形底线半故【一卷三十六】
　　第二题
　　凡有法六角等形自中心到其一边之半径线作直角形线其半径线及以形之半周线舒作直线为矩内直角长方形亦与有法形所容等
　　解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直
　　角线为庚辛另作壬癸线与庚辛
　　等作癸子与甲乙丙丁线等即半
　　周线也题言壬癸子丑直角形与
　　甲乙丙丁戊己形之所容等
　　论曰自庚到各角皆作直线皆分
　　作三角形皆相等【一卷八】其甲乙庚
　　三角形与甲辛辛庚二线所作矩
　　内直角形等【以甲辛分甲乙之半故本篇一题】若
　　以甲乙丙丁半形之周线为癸子
　　线以与壬癸线共作矩内直角形
　　即与有法全形等葢此半边三个
　　三角形照甲乙庚形作分中垂线
　　其矩线内直角形俱倍本三角形
　　故
　　第三题
　　凡有法直线形与直角三邉形并设直角形傍二线一长一短其短线与有法形半径线等其长线与有法形周线等则有法形与三邉形正等
　　解曰甲乙丙有法形其心丁从丁望甲乙作垂线又有丁戊己直角形其边丁戊与法形丁戊有等其戊己线又与甲乙丙之周线等题言丁戊己三角之体与甲乙丙全形等
　　论曰试作丁戊己庚直角形两平
　　分于壬辛作直线与丁戊平行则
　　丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相
　　等【本篇二题】何者戊辛线得甲乙丙之
　　半周而又在丁戊矩内即与有法
　　形全体等故也其丁戊己三角形
　　与丁戊壬辛直角形等则丁戊巳
　　三角形与甲乙丙全形亦等
　　第四题
　　凡圜取半径线及半周线作矩内直角形其体等
　　解曰有甲乙丙圜其半径为丁乙
　　又有丁乙戊巳直角形两丁乙等
　　之半圜线与戊乙等题言甲乙丙
　　所容与丁乙戊巳直角形所容等
　　论曰试以乙戊引长到庚令庚戊
　　与乙戊等则乙庚与圜周全等次
　　从丁望庚作直线既丁乙庚三角形之地与全圜地相等【在圜书一题】而丁乙戊巳又与丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十注】则丁乙戊巳自与全圜体等
　　第五题
　　凡直角三边形任将一锐角于对边作一直线分之其对边线之全与近直角之分之比例大于全锐角与所分内锐角之比例
　　解曰有甲乙丙直角三边形丙为直角从甲锐角望所对丙乙边任作甲丁线题言丙乙线与丙丁线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例
　　论曰甲丁线大于甲丙而小于甲乙【一卷十九】若以甲为心以丁为界作半规必分甲己线于乙之内而透甲戊线于丙之外其甲
　　乙丁三角形与甲己丁三角形之比例大于甲丁丙三角形与甲丁戊之比例何者一为甲乙丁大形与甲己丁小形比一为甲丁丙小形与甲丁戊大形比也则更之乙甲丁形与丁甲丙形之比例大于己甲丁形与丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之则乙甲丙形与丁甲丙形即是乙丁线与丁丙线之比例【形之比例与底线之比例相等在六卷】固大于甲己戊形与甲丁戊形之比例其甲己戊圜分与甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角与丁甲戊角之比例【六卷三十三系】则乙丙线与丁丙线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例也
　　第六题
　　凡直线有法形数端但周相等者多边形必大于少边形
　　解曰设直线有法形二为甲乙丙为丁戊己其圜周等
　　而甲乙丙形之边多于丁
　　戊己【不拘四边六边虽十边与十一二边皆同
　　此论】题言甲乙丙之体大于
　　丁戊己之体
　　论曰试于两形外各作一圜而从心望一边作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而以乙丙求周六而徧以戊己求周四而徧则乙丙边固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半边矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角【六卷三十三题之系】则以平理推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙
　　丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也【六卷三十三之二系】则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也【五卷十五】夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例【本篇五】则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸【一卷二十六】令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内
　　直角形也【本篇二】然则多邉直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所容乎
　　第七题
　　有三角形其邉不等于一边之上另作两边等三角形与先形等周
　　解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙两边不等欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等两边又等其法作丁戊线与甲乙乙丙合线等两平分于己甲乙乙丙两边并既大于甲丙边【一卷十】则丁己己戊两边并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙得所求葢庚甲庚丙自相等而甲丙同边则二形之周等而甲