周髀算经

　　御制题宋版周髀算经
　　皇祖精明勾股弦惜吾未习值髫年【余逮侍　　皇祖时年甫十二嵗设至十六七嵗时想亦蒙　　指示算法矣践阼后即以是为要命皇子辈随庄亲王学之故有通其术者而朕以因循未学此毎以为愧】授时以是为要矣考古亦常有舛焉设匪敬诚存曰旦可能容易事占天而今老固难为学自画追思毎愧旃

　　钦定四库全书　　　　　子部六
　　周髀算经　　　　　　　天文算法类一【推歩之属】提要
　　【臣】等谨案周髀算经二卷音义一卷案隋书经籍志天文类首列周髀一卷赵婴注又一卷甄鸾重述唐书艺文志李淳风释周髀二卷与赵婴甄鸾之注列之天文类而复列李淳风注周髀算经二卷于厯算类葢一书重出也是书内称周髀长八尺夏至之日晷一尺六寸葢髀者股也于周地立八尺之表以为股其影为勾故曰周髀其首章周公与商髙相问答实勾股之鼻祖故
　　御定数理精蕴载在卷首而详释之称为成周六艺之遗文荣方问于陈子以下徐光启谓为千古大愚今详考其文惟论南北影差以地为平逺复以平逺测天诚为臆説然与本文已絶不相类疑后人传説而误入正文者如夏小正之经传参合朱子未订以前使人不能读也其本文之广大精防者皆足以存古法之意开西法之源如书内以璇玑一昼夜环绕北极一周而过一度冬至夜半璇玑起北极下子位春分夜半起北极左卯位夏至夜半起北极上午位秋分夜半起北极右酉位是为璇玑四防所极终古不变以七衡六间测日躔法敛冬至日在外衡夏至在内衡春秋分在中衡当其衡为中气当其间为节气亦终古不变古葢天之学此其遗法葢浑天如毬冩星象于外人自天外观天葢天如笠冩星象于内人自天内观天笠形半圆有如张葢故称葢天合地上地下两半圆体即天地之浑圆矣其法失传已久故自汉以迄元明皆主浑天明万厯中欧逻巴人入中国始别立新法号为精密然其言地圆即周髀所谓地法覆槃滂沱四隤而下也其言南北里差即周髀所谓北极左右夏有不释之氷物有朝生暮获中衡左右冬有不死之草五糓一嵗再熟是为寒暑推移随南北不同之故春分至秋分极下常有日光秋分至春分极下常无日光是为昼夜永短随南北不同之故也其言东西里差即周髀所谓东方日中西方夜半西方日中东方夜半昼夜易处如四时相反是为节气合朔如时早晚随东西不同之故也又李之藻以西法制浑葢通宪展昼短规使大于赤道规一同周髀之展半衡使大于中衡其新法算书述第谷以前西法三百六十五日四分日之一每四嵗之小余成一日亦即周髀所谓三百六十五日者三三百六十六日者一也西法多出于周髀此皆显证特后来测验增修愈推愈宻耳明史厯志谓尧时宅西居昧谷畴人子弟散入遐方因而传为西学者固有由矣此书刻本脱误多不可通今据永乐大典内所载详加校订补脱文一百四十七字改讹舛者一百十三字删其衍复者十八字旧本相承题云汉赵卿注其自序称爽以暗蔽注内屡称爽或疑焉爽未之前闻葢即君卿之名然则隋唐志之赵婴殆即赵爽之讹欤注引灵宪乾象则其人在张衡刘洪后也旧有李借音义别自为卷今仍其旧书内凡为图有五而失传者三讹舛者一谨据正文及注为之补订古者九数惟九章周髀二书流传最古故讹误亦特甚然溯委穷源得其端绪固述数家之鸿寳也乾隆四十九年十月恭校上
　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
　　总　校　官　【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书
　　周髀算经卷上之一
　　汉　赵君卿　注
　　周　甄　鸾　重述
　　唐　李淳风　注释
　　昔者周公问于啇高曰窃闻乎大夫善数也
　　周公姓姬名旦武王之弟啇高周时贤大夫善算者也周公位居冡宰徳则至圣【案圣刻本作高今从永乐大典本】尚卑己以自牧【案卑上刻本衍自字今据永乐大典本删】下学而上达况其凡乎
　　请问古者包牺立周天厯度
　　包牺三皇之一始画八卦以啇高善数能通乎防妙达乎无方无大不综无幽不显闻包牺立周天厯度建章蔀之法【案建刻本作运今据永乐大典本改】易曰古者包牺氏之王天下也仰则观象于天俯则观法于地此之谓也
　　夫天不可阶而升地不可得尺寸而度【案得刻本作将今从永乐大典本改】
　　乎悬广无阶可升荡乎遐逺无度可量
　　请问数安从出【案安从刻本讹作从案今据永乐大典本改】
　　心昧其机请问其目
　　啇高曰数之法出于圆方
　　圆径一而周三方径一而帀四伸圆之周而为句展方之帀而为殷共结一角邪适五此圆方邪径相通之率【案此刻本讹作政今据永乐大典本改】故曰数之法出于圆方圆方者天地之形隂阳之数然则周公之所问天地也是以啇高陈圆方之形以见其象因奇耦之数以制其法所谓言约指逺防妙幽通矣
　　圆出于方方出于矩
　　圆规之数理之以方方周帀也方正之物出之以矩矩广长也
　　矩出于九九八十一
　　推圆方之率通广长之数当湏乘除以计之九九者乘除之原也
　　故折矩
　　故者申事之辞也将为句股之率故曰折矩也
　　以为句广三
　　应圆之周【案刻本讹作广谓之周今据永乐大典本改】横者谓之广句亦广广短也
　　股脩四
　　应方之帀从者谓之脩股亦脩脩长
　　径隅五
　　自然相应之率径直隅角也亦谓之
　　既方外外半之一矩【案各本作既方之外半其一矩讹舛不可通注内引径作既方其外惟半之讹作半其耳据上云折矩以为句广三股修四径隅五谓以十二折之句三股四其必五此盖承上所折之形令其外各自成古则句实九股实十六实二十五合五十年也为一矩于内减股实开其余得句减句实其余得股若开北一矩则得下云环而共盘得成三四五是也实二十五为一矩并句实股实亦二十五为一矩故下又云两矩共长二十有五是谓积矩推防上下文可证其字之字互讹今改正】句股之法先知二数然后推一见句股然后求先各自乘成其实实成势化尔乃变通故曰既方其外或并句股之实以求实之中【案各本脱一字今补】乃求句股之分并实不正等更相取与互有所得故曰半之一矩【案之各本亦讹作其今改正】其术句股各自乘三三如九四四一十六并为自乘之实二十五减句于为股之实一十六减股于为句之实九
　　环而共盘得成三四五
　　盘读如盘桓之盘言取其并减之积【案其刻本讹作而今据永乐大典本改】环屈而共盘之【案此下刻本衍谓字今据永乐大典本删】开方除之得其一靣【案刻本脱得字令据永乐大典本补】故曰得成三四五也
　　两矩共长二十有五是谓积矩
　　两矩者句股各自乘之实共长者并实之数将以施于万事而此陈其率也
　　故禹之所以治天下者此数之所生也
　　禹治洪水决疏江河【案疏刻本讹作流今据永乐大典本改】望山川之形定高下之势除淊天之灾释昬垫之厄使东注于海而无浸逆【案逆刻本作溺今从永乐大典本】乃句股之所由生也

<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经,卷上之一>
<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经,卷上之一>
　　句股圆方图句股各自乘并之为实开方除之即按图又可以句股相乘为朱实二倍之为朱实四以句股之差自相乘为中黄实加差实亦成实以差实减实半其余以差为从法开方除之复得句矣加差于句即股凡并句股之实即成实或矩于外或方于内【案各本讹作或矩于内或方于外与下云句实之矩股实方其里股实之矩句实方其里适相反据刘徽注九章算术云里者则成方幂其居表者则成矩幂可证外内二字互讹今改正】形诡而量均体殊而数齐句实之矩以股差为广股并为袤而股实方其里减矩句之实于实开其余即股倍股在两邉为从法开矩句之角即股差加股为以差除句实得股并以并除句实亦得股差令并自乘与句实为实倍并为法所得亦句实减并自乘如法为股股实之矩以为差为广【案各本讹作股今改正】句并为袤而句实方其里减矩股之实于实开其余即句倍句在两邉为从法开矩股之角即句差加句为以差除股实得句并以并除股实亦得句差令并自乘与股实为实倍并为法所得亦股实减并自乘如法为句两差相乘倍而开之所得以股差増之为句以句差增之为股两差增之为倍实列句股差实减实者以图攷之倍实满外大方而多黄实黄实之多即句股差实以差实减之开其余得外大方大方之面即句股并也令并自乘倍实乃减之开其余得中黄方黄方之面即句股差以差减并而半之为句加差于并而半之为股其倍为广袤合令句股见者自乘为其实四实以减之开其余所得为差以差减合半其余为广减广于即所求也观其迭相规矩共为反覆互与通分各有所得然则统叙羣伦宏纪众理贯幽入微钩深致远故曰其裁制万物惟所为之也
　　臣鸾释曰按君卿注云句股各自乘并之为实开方除之即臣鸾曰假令句三自乘得九股四自乘得一十六并之得二十五开方除之得五为也注云按图又可以句股相乘为朱实二倍之为朱实四以句股之差自相乘为中黄实臣鸾曰以句差二倍之为四自乘得一十六为左图中黄实也臣淳风等谨按注云以句股之差自乘为中黄实鸾云倍句差自乘者苟求异端虽合其数于率不通注云加差实亦成实臣鸾曰加差实一并外矩青八得九并中黄一十六得二十五亦成实也臣淳风等谨按注云加差实一亦成实鸾云加差实并外矩及中黄者虽合其数于率不通
　　注云以差实减实半其余以差为从法开方除之复得句矣臣鸾曰以差实九减实二十五余一十六半之得八以差一加之得九开之得句三也臣淳风等谨按注宜云以差实一减实二十五余二十四半之为一十二以差一为从开方除之得句三鸾云以差实九减实者虽合其数于率不通注云加差于句即股臣鸾曰加差一于句三得股四也
　　注云凡并句股之实即成实臣鸾曰句实九股实一十六并之得二十五也
　　注云或矩于外或方于内【案外内二字各本亦互讹今改正】形诡而量均体殊而数齐句实之矩以股差为广股并为袤臣鸾曰以股差一为广股四幷五得九为袤左图外青也
　　注云而股实方其表臣鸾曰为左图中黄十六注云减矩句之实于实开其余即股臣鸾曰减矩句之实九于实二十五余一十六开之得四股也注云倍股在两邉为从法开矩句之角即股差臣鸾曰倍股四得八在图两邉以为从法开矩句之角九得一也
　　注云加股为臣鸾曰加差一于股四则五也注云以差除句实得股并臣鸾曰以差一除句实九得九即股四五幷为九也
　　注云以幷除句实亦得股差臣鸾曰以九除句实九得股差一
　　注云令并自乘与句实为实臣鸾曰令并股得九自乘为八十一又以句实九加之得九十为实注云倍并为法臣鸾曰倍股并九得一十八为法注云所得亦臣鸾曰除之得五为
　　注云句实减并自乘如法为股臣鸾曰以句实九减并自乘八十一余七十二以法一十八除之得四为股也
　　注云股实之矩以句差为广句并为袤臣鸾曰股实之矩以句差二为广句并八为袤
　　注云而句实方其里减矩股之实于实开其余即句臣鸾曰句实有九方在右图里以减矩股之实一十六于实二十五余九开之得三句也
　　注云倍句在两邉臣鸾曰各三也
　　注云为从法开矩股之角即句差加句为臣鸾曰加差二于句三则五也
　　注云以差除股实得句并臣鸾曰以差二除股实一十六得八句三五并为八也
　　注云以并除股实亦得句差臣鸾曰以并除股实一十六得句差二
　　注云令并自乘与股实为实臣鸾曰令并八自乘得六十四以股实一十六加之得八十为实
　　注云倍并为法臣鸾曰倍句并八得一十六为法注云所得亦臣鸾曰除之得五也
　　注云股实减并自乘如法为句臣鸾曰以股实一十六减并自乘六十四余四十八以法一十六除之得三为句也
　　注云两差相乘倍而开之所得以股差增之为句臣鸾曰以股差一乘句差二得二倍之为四开之得二以句差一增之得三句也
　　注云以句差增之为股臣鸾曰以句差二【案各本脱句字今补】増之得四股也
　　注云两差增之为臣鸾曰以股差一句差二増之得五也
　　注云倍实列句股差实减实者以图攷之倍实满外大方而多黄实黄实之多即句股差实臣鸾曰倍实二十五得五十满外大方七七四十九而多黄实黄实之多即句股差实一也【案各本脱一字今据上下文补】注云以差实减之开其余得外大方大方之面即句股并臣鸾曰以差实一减五十余四十九开之即大方之面七也亦是句股幷也
　　注云令并自乘倍实乃减之开其余得中黄方黄方之面即句股差臣鸾曰并七自乘得四十九倍实二十五得五十以减之余即中黄方差实一也故开之即句股差一也
　　注云以差减并而半之为句臣鸾曰以差一减并七余六半之得三句也
　　注云加差于并而半之为股臣鸾曰以差一加并七得八而半之得四股也
　　注云其倍为广袤合臣鸾曰倍二十五为五十为广袤合
　　臣淳风等谨按列广袤术宜云倍五得十为广袤合今鸾云倍二十五者错也
　　注云令句股见者自乘为其实四实以减之开其余所得为差臣鸾曰令自乘为其实四实乘得四十九四实者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即句股差一
　　臣淳风等谨按注意令自乘者十自乘得一百四实者大方广袤之中有四方若据句实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股差减股并余数若据股实而言之一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是句差【案刻本讹作股今改正】减句并余数也鸾云令自乘者以七七自乘得四十九四实者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即句股差一者错也