五经算术

　　辰，姑洗实十三万九千九百六十八，律七寸一分(小分一，微强)，下生应钟；南授实十三万九千六百七十六，律七寸(小分九，半强)，下生分乌；变虞实十三万八千八十四，律七寸(小分一，半强)，下生迟内；路时实十三万六千二百二十五，律六寸九分(小分二，微强)，下生未育；形始实十三万四千三百九十二，律六寸八分(小分三，弱)，上生迟时；依行实十三万二千五百八十三，律六寸七分(小分三，半强)，上生色育。

　　巳，中吕实十三万一千七十二，律六寸六分(小分六，微弱)，上生执始；南中实十二万九千三百八，律六寸五分(小分七，微弱)，上生丙盛；内负实十二万七千五百六十七，律六寸四分(小分八，微强)，上生分动；物应实十二万五千八百五十，律六寸三分(小分九，少强)，上生大吕。

　　午，宾实十二万四千四百一十六，律六寸三分(小分二，微强)，上生大吕；南事实十二万四千一百五十六，律六寸三分(小分一，弱)，不生；盛变实十二万二千七百四十一，律六寸二分(小分三，半强)，上生分否；离宫实十二万一千八十九，律六寸一分(小分五，微强)，上生凌阴；制时实十一万九千四百六十，律六寸(小分七，微弱)，上生少出。

　　未，林锺实十一万八千九十八，律六寸，上生太蔟；谦待实十一万七千八百五十一，律五寸九分(小分九，弱)，上生未知；去灭实十一万六千五百八，律五寸九分(小分二，微弱)，上生时息；安度实十一万四千九百四十，律五寸八分(小分四，微弱)，上生屈齐；归嘉实十一万三千三百九十三，律五寸七分(小分六，微强)，上生随期；否与实十一万一千八百六十七，律五寸六分(小分八，少强)，上生形晋。

　　申，夷则实十一万五百九十二，律五寸六分(小分二，弱)，上生夹钟；解形实十万九千一百三，律五寸五分(小分四，强)，上生开时；去南实十万七千六百三十五，律五寸四分(小分六，太强)，上生族嘉；分积实十万六千一百八十六，律五寸三分(小分九，少强)，上生争南。

　　酉，南吕实十万四千九百七十六，律五寸三分(小分三，强)，上生姑洗；白吕实十万四千七百五十七，律五寸三分(小分二，强)，上生南授；结躬实十万三千五百六十三，律五寸二分(小分六，微强)，上生变虞；归期实十万二千一百六十九，律五寸一分(小分九，微强)，上生路时；未卯实十万七百九十四，律五寸一分(小分二，微强)，上生形始；夷汗实九万九千四百三十七，律五寸(小分五，微强)，上生依行。

　　戍，无射实九万八千三百四，律四寸九分(小分九，少强)，上生中吕；闭掩实九万六千九百八十一，律四寸九分(小分三，弱)，上生南中；邻齐实九万五千六百七十五，律四寸八分(小分六，微强)，上生内负；期保实九万四千三百八十八，律四寸七分(小分九，半强)，上生物应。

　　亥，应锺实九万三千三百一十二，律四寸七分(小分四，微强)，上生蕤宾；分乌实九万三千一百一十七，律四寸七分(小分三，微强)，上生南事；迟内实九万二千五十六，律四寸六分(小分八，弱)，上生盛变；未育实九万八百一十七，律四寸六分(小分一，少强)，上生离宫；迟时实八万九千五百九十五，律四寸五分(小分五，强)，上生制时。

　　甄鸾按：刚柔殊节，清浊异伦。五音六律，理无相夺。隔八相生，又如合契。

　　按志序云：「上生不得过黄锺之浊；下生不得不及黄锺之清。」是则上生不得过九寸；下生不得减四寸五分。且依行者，辰上之管也，长六寸七分。上生色育。然则色育者，亥上之管也，长四寸四分，减黄锺之清。其名仍就下生之名；其算变取上生之实。乃越亥就子，编于黄钟之下，律长八寸九分。非直名与实乖，抑亦违例隔凡。志又云：「始于黄锺，终于南事。」

　　注云：「不生」；且南事，午上管也。计南事之律，次得上生八寸四分之管。便是上生不过黄锺之浊。乃注云：「不生」，此乃苟欲充六十之数。其于义理，未之前闻。

　　《礼记》投壶法：

　　「壶颈修七寸，腹修五寸，口径二寸半，容斗五升。」注云：「修，长也。腹容斗五升，三分益一，则为二斗。得圆囷之象，积三百二十四寸。以腹修五寸约之，所得求其圆周。圆周二尺七寸有奇，是为腹径九寸有余。」

　　甄鸾按：斛法一尺六寸二分，上十之得一千六百二十寸为一斛。积寸下退一等，得一百六十二寸为一斗。积寸倍之，得三百二十四寸为二斗。积寸以腹修五寸约之，得六十四寸八分。乃以十二乘之，得七百七十七寸六分。又以开方除之，得圆周二十七寸；余四十八寸六分。倍二十七寸，得方法五十四。下法一从方法，得五十五。以三除二十七寸得九寸。又以三除不尽四十八寸六分，得十六寸二分。与法俱上十之，是为壶腹径九寸五百五十分寸之一百六十二。母与子亦可俱半之，为二百七十五分寸之八十一。

　　推春秋鲁僖公五年正月辛亥朔法：

　　经云：「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」南至，冬至也。冬至之日，南极至。故谓之日南至也。日中之时景最长。以景度之，知其南至。周官以土圭度日景，以求地中。夏至之日景尺有五寸。冬至之日，立八尺之木以为表。度而知之。「公既视朔，遂登观台以望云气而书，礼也。凡分、至启闭，必书云物，为备故也。」

　　推积日法：

　　置积月一万一千九百八十五。以周天分二万七千七百五十九乘之，得三亿三千二百六十九万一千六百一十五，为朔积分。以日法九百四十除之，得三十五万三千九百二十七为积日。不尽二百三十五为小余。以六十除积日，得五千八百九十八，弃之。取不尽四十七为大余。命以甲子算外，即正月辛亥朔。

　　求次月朔法：

　　置正月朔大、小余，加朔大余二十九、小余四百九十九。若小余满日法九百四十，除之；从大余一。满六十除之。命以甲子算外，即次月朔。如是一加得一月朔。若小余满四百四十一以上，其月大，减者小也。

　　推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法：

　　经云：「僖公五年春王正月辛亥朔日南至。」

　　求次气法：

　　加大余十五，小分二十一。小分满气法二十四，从小余一。小余满四，从大余一。大余满六十，去之。命以甲子算外，次气日。如是一加得一气。

　　推文公元年岁在乙未，闰在十月下，而失在三月法：

　　经云：「文公元年于是闰三月，非礼也。先王之正时也，屡端于始、举正于中、归余于终。屡端于始，序则不愆；举正于中，则民不惑；归余于终，则事不悖。」

　　推闰余十三在何月法：

　　置章岁十九，以闰余十三减之，不尽六。以岁中十二乘之，得七十二。以章闰七除之得十。命从正月起算外，闰十月下而尽。闰三月者，非也。

　　推文公六年，岁在庚子，是岁无闰而置闰法：

　　经云：「文公六年，闰月不告朔，犹朝于庙。」传曰：「闰月不告朔，非礼也。闰以正时，时以作事。民生之道于是乎在矣。不告闰朔，弃时正也，何以为民？」

　　推襄公二十七年，岁在乙卯，再失闰法：

　　襄公二十七年，岁在乙卯，九月乙亥朔，是建申之月也。鲁史书：「十二月乙亥朔，日有食之。」传曰：「冬十一月乙亥朔，日有食之。于是辰在申，司历过也。再失闰矣。」言时实以为十一月也。不察其建，不考之于天也。

　　推绛县老人生经四百四十五甲子法：

　　襄公三十年，岁在戌午，二月癸未。注：「二月一日，丁卯朔。癸未十七日也。」「晋悼夫人食舆人之城杞者。绛县人长矣，无子而往与于食。有与疑年，使之年曰：「臣小人也，不知纪年。臣之岁，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣。其季于今三之一也。吏走问诸朝。师旷曰：「鲁叔仲惠伯会却成子于城匡之岁也，七十三年矣。」史赵曰：「亥有二首六身。下二如身，是其日数也。」士文伯曰：「然则二万六千六百有六旬也。」」

　　甄鸾按：「四百四十五甲子矣。其季于今三之一」者，计四百四十五甲子矣，有二万六千七百日。其季三之一者，谓不满四百有四十五甲子。于未满一甲子六十日之中，三分取一。谓去四十日，止留二十日也。是以注云：「三分六甲之一得甲子、甲戌尽癸未。谓止有四百有四十四甲子，奇二十日，合二万六千六百六十日。以应史赵「亥有二首六身」之数也。

　　术曰：置积日二万六千六百六十日。以四乘之，得十万六千六百四十日为实。又置周天三百六十五日四分日之一。以四乘之，内子一，得一千四百六十一为一岁之日法以除实，得七十二岁。一千四百四十八，少十三分不满法。计四分为一日，更少三日，不终季年。算法，半法以上收成一，为七十三年。据多而言也。

　　推文公十一年，岁在乙巳。夏正月甲子朔。绛县老人生月法：

　　襄公三十年，绛县人曰：「臣小人，不知纪年。臣生之岁，正月甲子朔，四百四十五甲子矣。其季于今三之一也。」

　　推积日法：

　　置积月一万二千四百六十七。以周天分二万七千七百五十九乘之，得三亿四千六百七万一千四百五十三为朔积分。以日法九百四十除之，得三十六万八千一百六十一为积日；不尽一百一十三为小余。以六十除积日，不尽为大余。命以甲子算外，乙丑。推次月朔法，如前僖公五年中术。

　　推积日法：

　　置积月一万三千六百一十七。以周天分二万七千七百五十九乘之，得三亿七千七百九十九万四千三百三为朔积分。以日法九百四十除之，得四十万二千一百二十一为积日。不尽五百六十三为小余。以六十除积日得六千七百二，弃之。不尽一为大余。命以甲子算外，正月乙丑朔。

　　推算鲁昭公十九年，闰在十二月之后，就以闰月为正月，而以正月为二月的算法：

　　推昭公十九年，岁在戊寅，闰在十二月下法：

　　推昭公十九年，岁在戊寅月朔法：

　　推昭公二十年，岁在己卯月朔法：

　　正月大，己丑朔。大余二十五，小余四百七十。二月小，己未朔。大余

　　五十五，小余二十九。三月大，戊子朔。大余二十四，小余五百二十八。

　　推昭公二十年，岁在己卯，正月己丑朔，旦冬至；而失云二月己丑冬至法：

　　甄鸾按：周历昭公十九年，岁在戊寅。其年闰十二月。其月大，己未朔。二十年，岁在己卯。正月大，己丑朔。即以己丑朔，旦为冬至。而昭公十九年，不置闰，乃以闰十二月为正月。故以为二月也。

　　推哀公十二年，岁在戊午。应置闰而不置，故书十二月有螽法：

　　经云：「哀公十二年，冬十有二月螽」。季孙问诸仲尼。仲尼曰：「丘闻之，火伏而后蛰者毕。今火犹西流，司历过也。」

　　求十二年闰月法：

　　置章岁十九。以闰余十四减之，不尽五。以岁中十二乘之，得六十。以章闰七除之，得八。命从正月起算外，即在八月下。

　　甄鸾按：周十二月，夏之十月也。哀公十二年，闰在夏八月下。当时实是夏之九月，而失以闰月为九月，以九月为十月。故书「冬十有二月螽」也。