乾坤体义

　　乾坤体义卷中
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义>
　　钦定四库全书
　　乾坤体义卷下
　　明　利玛窦　撰
　　容较图义
　　万形有全体目视惟一面即面可以推全体也面从界显界从线结总曰边线邉线之最少者为三邉形多者四邉五邉乃至千万亿邉不可数尽也三邉形等度者其容积固大于三邉形不等度者四邉以上亦然而四边形容积恒大于三邉形多邉形容积恒大于少邉形恒以周线相等者騐之邉之多者莫如浑圜之体浑圜者多邉等邉试以周天度剖之则三百六十邉等也又剖度为分则二万一千六百邉等也乃至秒忽毫厘不可胜算万形愈多邉则愈大故造物者天也造天者圜也圜故无不容无不容故为天试论其槩

　　凡两形外周等则多邉形容积恒大于少邉形容积假如有甲乙丙三角形其邉最少就底线乙丙两平分于丁作甲丁线其甲乙甲丙两腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等则甲丁线为乙丙之垂线【几何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊与丁丙平行戊丙与甲丁平行视前形增一角者【一卷四又三十六】既甲丁丙甲丁乙两形等而甲丙戊与甲丁乙亦等【一卷三十四】则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等矣以周论之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邉皆与乙丁相等甲丙邉为其线稍长试引丙戊至己引丁甲至庚皆与甲丙甲乙线等而作庚丁己丙形与甲乙丙三角形同周则赢一甲庚己戊形故知四邉形与三邉形等周者四邉形容积必大于三邉形

　　凡同周四直角形其等邉者所容大于不等邉者假有直角形等邉者每邉六共二十四其中积三十六另有直角形不等邉者两邉数十两邉数二其周亦二十四与前形等周而其邉不等故中积只二十又设直角形其两邉各九其两邉各三亦与前形同周而中积二十七又设一形两邉各八两邉各四亦与前同周而中积三十二或设以两邉为七以两邉为五亦与前同周而中积三十五是知邉度渐相等则容积固渐多也

　　试作直角长方形令中积三十六同前形之积然周得三十与前周二十四者迥异今以此周作四邉等形则中积必大于前形

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
　　凡同周四角形其等邉等角者所容大于不等邉等角者
　　设甲乙丙丁不等角形从丙丁各作垂线又设引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】与不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙线则赢于己丁戊丙线是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周试引丁己至辛与乙丁等引丙戊至庚与甲丙等而作庚丙辛丁形则多一庚戊辛己形因显四等角形大于不等角形
　　以上四则见方形大于长形而多邉形更大于少邉形则圜形更大于多邉形此其大畧若详论之则另立五界説及诸形十八论于左
　　第一界等周形
　　谓两形之周大小等
　　第二界有法形
　　谓不拘三邉四邉及多邉但邉邉相等角角相等即为有法其攲邪不就规矩者为无法形
　　第三界求各形心
　　但从心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即系圜与形同心
　　第四界求形面
　　谓周线内所容人目所见乃形之一面
　　第五界求形体
　　如立方立圜三乗四乗诸形乃形之全体

　　第一题
　　凡诸三角形从底线中分作垂线与顶齐髙以中分线及髙线作矩内直角方形必与三角形所容等
　　解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂线至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角题言直角与三角形等
　　先论曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁线次从甲作戊己线与乙丙平行又作己丙戊乙二线成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形【一卷四一】故甲乙丙三角形与甲丁丙己形等【一卷二十六】
　　次论曰作甲丁垂线而第二图丁非甲乙之平分第三图甲在方形之外皆从甲作戊己线引长之与乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂线视甲丁为平行亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大于辛庚丙己即倍大于三角形何者以辛庚丙己长方形分三角形底线半故【一卷三十六】

　　第二题
　　凡有法六角等形自中心到其一邉之半径线作直角形线其半径线及以形之半周线舒作直线为矩内直角长方形亦与有法形所容等
　　解曰有甲乙丙丁戊己法形其心庚自庚至甲乙作直角线为庚辛另作壬癸线与庚辛等作癸子与甲乙丙丁线等即半周线也题言壬癸子丑直角形与甲乙丙丁戊己形之所容等
　　论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等【一卷八】其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等【以甲辛分甲乙之半故见本篇一题】若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等盖此半邉三个三角形照甲乙庚形作分中垂线其矩线内直角形俱倍本三角形故

　　第三题
　　凡有法直线形与直角三邉形并设直角形傍二线一长一短其短线与有法形半径线等其长线与有法形周线等则有法形与三邉形正等
　　解曰甲乙丙有法形其心丁从丁望甲乙作垂线又有丁戊己直角形其邉丁戊与法形丁戊等其戊己线又与甲乙丙之周线等题言丁戊己三角之体与甲乙丙全形等
　　论曰试作丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等【本篇二题】何者戊辛线得甲乙丙之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全形亦等

　　第四题
　　凡圜取半径线及半周线作矩内直角形其体等解曰有甲乙丙圜其半径为丁乙又有丁乙戊己直角形两丁乙等半圜线与戊乙等题言甲乙丙所容与丁乙戊己直角形所容等
　　论曰试以乙戊引长到庚令庚戊与乙戊等则乙庚与圜周全等次从丁望庚作直线既丁乙庚三角形之地与全圜地相等【在圜书一题】而丁乙戊己又与丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十注】则丁乙戊己自与全圜体等

　　第五题
　　凡直角三邉形任将一锐角于对邉作一直线分之其对邉线之全与近直角之分之比例大于全锐角与所分内鋭角之比例
　　解曰有甲乙丙直角三邉形丙为直角从甲鋭角望所对丙乙邉任作甲丁线题言丙乙线与丙丁线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例
　　论曰甲丁线大于甲丙而小于甲乙【一卷十九】若以甲为心以丁为界作半规必分甲己线于乙之内而透甲戊线于丙之外其甲乙丁三角形与甲己丁三角形之比例大于甲丁丙三角形与甲丁戊之比例何者一为甲乙丁大形与甲己丁小形比一为甲丁丙小形与甲丁戊大形比也则更之乙甲丁形与丁甲丙形之比例大于己甲丁形与丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之则乙甲丙形与丁甲丙形即是乙丁线与丁丙线之比例【形之比例与底线之比例相等在六卷一】固大于甲己戊形与甲丁戊形之比例其甲己戊圜分与甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角与丁甲戊角之比例【六卷三十三系】则乙丙线与丁丙线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例也

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　　第六题
　　凡直线有法形数端但周相等者多邉形必大于少邉形
　　解曰设直线有法形二为甲乙丙为丁戊己其圜周等而甲乙丙形之邉多于丁戊己【不拘四邉六邉虽十邉与十一二邉皆同此论】题言甲乙丙之体大于丁戊己之体
　　论曰试于两形外各作一圜而从心望一邉作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多邉者与丁戊己形少邉者外周既等而以乙丙求周六而遍以戊己求周四而徧则乙丙邉固小于戊己邉而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各邉俱等而全形邉所倍于戊己一邉数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全邉所倍于乙丙一邉与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角【六卷三十三题之系】则以平理推之移戊己邉于甲乙丙全邉亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一邉犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也【六卷三十三之二系】则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也【五卷六五】夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例【本篇五】则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬邉亦等于子癸邉则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸【一卷二十六】今以庚壬
　　线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也【本篇二】然则多邉直线形之所容岂不大于等周少邉直线形之所容乎

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　　第七题
　　有三角形其邉不等于一邉之上另作两邉等三角形与先形等周
　　解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙两邉不等欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等两邉又等其法作丁戊线与甲乙乙丙合线等两平分于己甲乙乙丙两邉并既大于甲丙邉【一卷十】则丁己己戊两邉并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙得所求盖庚甲庚丙自相等而甲丙同邉则二形之周等而甲庚丙与甲乙丙为两邉等之三角形【此庚防必在甲乙线外若在甲乙邉上遇辛则辛丙线小于辛乙乙丙合线即不得同周】

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
　　第八题
　　有三角形二等周等底其一两邉等其一两邉不等其等邉所容必多于不等邉所容
　　解曰有甲乙丙形其甲乙邉大于乙丙令于甲丙上更作甲丁丙三角形与甲乙丙等周【本篇七】而丁甲丁丙两腰等亦与甲乙乙丙合线等题言甲丁丙角形大于甲乙丙
　　论曰试引甲丁至戊令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两邉与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两邉等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半【一卷三十二】令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行【一卷二十八】又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线聨之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也【六卷一】因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙两边等三角形必大于等周之甲乙丙矣【问戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半曰丁甲丙与丁丙甲两角等而戊丁丙为其外角凡外角必兼两内角故也】

　　第九题
　　相似直角三邉形并对直角之两线为一直线以作直角方形又以两相当之直线四并二直线各作直角方形其容等
　　解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊两角为直角而甲与丁丙与己角各相等甲丙与丁己相当甲乙与丁戊相当题言并甲丙丁己为一直线于上作直角方形与并甲乙丁戊作直线及并乙丙戊己作直线各于其上作直形方形两并等
　　论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度次从庚作线与戊己平行又引丁己长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行【一卷二十九】则己壬辛之角形与丁戊己相似而丁戊己与甲乙丙相似矣【一卷三十二】何者己壬辛角与庚角等庚角与丁戊己角等己角又与乙角等而辛角与丁己戊角及丙角俱等壬己辛角与甲角亦等【一卷三十四】又己壬邉与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙己辛与甲丙俱相等【一卷二十六】故丁辛线兼丁己甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也【一卷三十四】然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直角方形并自相等矣

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>

　　第十题
　　有三角形二其底不等而腰等求于两底上另作相似三角形二而等周其两腰各自相等
　　解曰甲乙丙丁不等两底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰与己丙己丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于己角【一卷二十五】而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等
　　法曰作庚辛线与甲戊戊乙丙己己丁四线等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁【六卷十】甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣【五卷】夫庚辛并既大于甲乙丙丁并【两邉必大于一邉在一卷二十】则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙也【五卷十四】甲乙庚癸癸壬三线每二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外【以戊甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度过之故】于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内【己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二】
　　论曰并甲戊戊乙丙己己丁四线之度既与并甲丑丑乙丙己己丁四线之度相等则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周而其两腰亦自相同至于两形相似何也甲乙与丙丁若庚壬与辛壬而减半之庚壬与壬子【五卷十五】又若丑甲与寅丙丑乙与寅丁也则更之而甲乙与甲丑若丙丁与丙寅而甲丑与丑乙若丙寅与寅丁是两形为同邉之比例自相似【六卷五】